Ingeborg Sletta er lektor i matematikk ved Rauma videregående skole og universitetslektor ved Institutt for matematiske fag, NTNU. Hun sitter i Utdanningsdirektoratets arbeidsgruppe som skal gi råd om endringer i matematikkeksamen. Medlemmene av gruppen deler sine perspektiver på matematikkeksamen utover våren. Innlegget nedenfor gir uttrykk for skribentens egne meninger om matematikkeksamen.
Standpunktkarakteren skal beskrive elevens samlede kompetanse over tid, mens eksamenskarakteren skal beskrive et øyeblikksbilde av den kompetansen eleven har fått vist på eksamen innenfor et utdrag av faget.
Jeg har alltid vært glad i matematikk og de spennende utfordringene som vi finner i matematikken, men også undret meg over alle utfordringene som dette faget gir – både for elever og voksne. Det er i dette krysningspunktet engasjement mitt ligger. Det har påvirket meg i valg av både fag, yrke og ulike jobber. Som ferdigutdannet med en master i matematikk og PPU fra NTNU startet jeg å undervise på NTNU på videreutdanningen og gikk deretter til lærerutdanningen på tidligere HiST og DMMH med utdanning av førskolelærere. Etter noen år begynte jeg å kjenne på at jeg burde ha vært i klasserommet i skolen, ikke bare blant studenter som skal bli lærere. Dermed gikk jeg over til videregående. Jeg har ikke sett meg tilbake siden. Det er så artig og utfordrende å arbeide med elever og det gir meg både mye energi og mange utfordringer. Jeg er utrolig heldig som kan kombinere det å arbeide i skolen med å undervise på videreutdanningen på NTNU for lærere i videregående som ønsker å lære mer om matematikk og dens verden.
I mitt daglige arbeid er det elevenes læring som står i fokus. Det jeg skriver om her har imidlertid et annet fokus; vurdering av elevene.
I arbeidsgruppa som skal gi råd om endringer i matematikkeksamen er det en diskusjon som dukker opp på mange av møtene vi har, ja kanskje til og med alle møtene: Forholdet mellom standpunktkarakteren og eksamenskarakteren (på skriftlig eksamen).
Viktigheten av underveisvurderingen
Før jeg begir meg ut på det må jeg nevne det jeg mener er den aller viktigste vurderingen, og det er selvsagt underveisvurderingen. Underveisvurderingen har fått en sterkere rolle etter fagfornyelsen og er en vurdering som fører til at elevene lærer av å få vurdering i tillegg til at de blir vurdert (Black and Wiliam 1998).
I forskrift til opplæringslova står det at «underveisvurderinga (…) skal brukast til å fremje læring, tilpasse opplæringa og auke kompetansen i fag.» Det skal gi elevene innblikk i hva som blir forventet av dem og forstå hva de skal lære, elevene skal få vite hva de skal mestre, og veiledning på hva de konkret skal arbeide med for å bedre kompetansen sin i faget.
Matematisk kompetanse
Når vi vurderer en elev i matematikk er det kompetansen i matematikk vi skal vurdere. Men hva er matematisk kompetanse? Det finnes mange definisjoner i litteraturen. Niss og Kilpatrick sine definisjoner er antagelig kjent for de fleste, og det er tydelig at disse har inspirert utviklingen av læreplanene.
I LK20 er kompetanse beskrevet i overordnet del (kap 2.2) og defineres slik:
«Kompetanse er å kunne tilegne seg og anvende kunnskaper og ferdigheter til å mestre utfordringer og løse oppgaver i kjente og ukjente sammenhenger og situasjoner. Kompetanse innebærer forståelse og evne til refleksjon og kritisk tenkning.»
I læreplanen i matematikk er det i tillegg beskrevet seks kjerneelementer. Kjerneelementene er definert som det mest betydningsfulle innholdet elevene må lære for å kunne mestre og anvende faget.
Selv om det finnes mange definisjoner på matematisk kompetanse i litteraturen, er det altså definisjonen av kompetanse og kjerneelementene vi som lærere i skolen skal forholde oss til.
Når jeg leser kompetansedefinisjonen og kjerneelementene i matematikk så innser jeg hvor kompleks den matematiske kompetansen er. Den inneholder mange ulike elementer, og jeg tror definisjonen peker i retning av en endring i hvordan mange arbeider med matematikk med elevene. Det gjelder også meg, og jeg kjenner at dette virkelig er en utfordrende oppgave å skulle ta tak i.
Det er krevende for elevene dersom de skal klare å bruke matematikken de lærer i et fag, ikke bare til å løse ferdigoppstilte oppgaver som ligner på det de har fått før, eller oppgaver som likner på et eksempel i boka, men til å «anvende kunnskaper og ferdigheter til å mestre utfordringer og løse oppgaver i (…) ukjente sammenhenger». Det er også en krevende øvelse for oss lærere som skal ruste elevene til å klare dette. Her tenker jeg kjerneelementene kan hjelpe oss på veien. For hvis vi leser et kompetansemål i lys av kjerneelementene så finner vi hjelp til hvordan vi kan arbeide med det kompetansemålet. I tillegg hjelper det oss til å løfte oss over hvert enkelt kompetansemål for å se hva eleven skal klare å bruke den totale kompetansen i et fag til.
Underveisvurderinga har som mål å fremme læring (Forskrift til opplæringslova 3-10), mens standpunkt og eksamen er en vurdering som gjøres for å gi informasjon om hvilken kompetanse en elev har i et fag på et gitt tidspunkt (Forskrift til opplæringslova 3-15 og 3-22).
Standpunktvurdering basert på hele faget
I forskrift til opplæringslova står det at «ein standpunktskarakter skal vere uttrykk for den samla kompetansen eleven har ved avslutninga av opplæringa.» Videre står det at sluttvurderinga skal vurderes etter kompetansemåla i læreplanen, men så vet vi at kompetansemåla skal forstås i lys av resten av læreplanen.
Som lærer betyr det at vi gir standpunktvurdering basert på hele faget, på kompetansen som eleven har vist muntlig, skriftlig, digitalt, både individuelt og i samarbeid med andre, gjennom hele skoleåret.
Og dersom en elev har forbedret seg innenfor et område i løpet av skoleåret skal hen få mulighet til å få vist den kompetansen ved slutten av opplæringa. Da betyr det ikke noe om det var noe som var vanskelig på høsten.
Forskjellen mellom en standpunktkarakter og en eksamenskarakter
Vi går igjen til opplæringslova og leser «ein eksamenskarakter skal vere uttrykk for den kompetansen kvar enkelt elev (..) viser på eksamen. Eksamen skal vere i samsvar med kompetansemåla i læreplanen» og «eksamen skal gi eleven (…) høve til å vise sin kompetanse i så stor del av faget som mogleg ut frå eksamensforma».
Her ser vi at det er en forskjell mellom en standpunktkarakter og en eksamenskarakter.
Standpunktkarakteren skal beskrive eleven sin samla kompetanse over tid, mens eksamenskarakteren skal beskrive et øyeblikksbilde av den kompetansen eleven har fått vist på eksamen innenfor et utdrag av faget.
Det betyr at det er kompetansemål i matematikk som aldri testes på eksamen, og at det er en delmengde av kompetansemåla, og da læreplanen, som testes på eksamen i et gitt år.
Eksempler
Jeg velger å gå til læreplanen og kompetansemålene i matematikk R1, og der står det «planlegge og gjennomføre et selvstendig arbeid med reelle datasett knyttet til naturvitenskapelige temaer og forhold, og analysere og presentere funn».
I læreplanen i matematikk 1P-Y står det «innhente data fra praksisfeltet, gjøre overslag og beregninger og lage hensiktsmessige framstillinger av resultatene og presentere disse».
Det er mulig å lage eksamensoppgaver av deler av disse kompetansemålene, men som helhet vil ikke disse kompetansemålene bli testet på eksamen. Men i en læreprosess med kontinuerlig underveisvurdering vil dette målet bli knyttet opp mot standpunktvurderingen til en elev.
Det er to små men konkrete eksempel på forskjellen mellom de to vurderingene.
En eksamenskarakter er et øyeblikksbilde
Jeg vil si at en eksamenskarakter er et øyeblikksbilde av hva en elev kan i en delmengde av et matematikkfag. Den er gitt etter en skriftlig prøve på 5 timer.
En standpunktkarakter er gitt etter et helt skoleår med arbeid i faget, hvor eleven viser kompetanse på mange ulike måter og i ulike situasjoner.
Dermed er grunnlaget for en standpunktkarakter mye bredere og inneholder vurdering av hele matematikkfaget. Sett i lys av kompetansedefinisjonen så vil det være vanskelig, om ikke umulig, å gi et mer helhetlig bilde av en elev sin kompetanse ut fra 5 timers skriftlig arbeid uten samarbeid med andre.
Så vet vi at disse to karakterene i større og mindre grad sammenlignes rundt om på norske skoler. Noen bruker det som en rettesnor for læreren selv, mens det på andre skoler settes i sammenheng og system. Min mening er at det kan være verdifullt å sammenligne de to på generell basis, over flere år, og med ulike klasser. Da kan en lærer danne seg et bilde av et eventuelt mønster. Men gitt at denne sammenligningen skal skje så må man ha med seg den tydelige forskjellen det tross alt er mellom disse vurderingsformene.
Referanser
- Black, P., & Wiliam, D. (1998). Inside the black box. London: GL assessment.
- Forskrift til opplæringslova
- Læreplan i matematikk for realfag (Matematikk R)
- Læreplan i matematikk fellesfag vg1 praktisk (matematikk P)
Når vi nå har slått fast at eksamen ikkje kjem til å måle noko anna enn det som skjer på eksamen, må vi vurdere kva eksamen er egna til og kva den ikkje er egna til. Det er utruleg viktig å bruke rett reiskap til rett føremål. Eksamen er berre eí av mange former for vurdering. Dermed må standpunkt reflektere heile læreplanen gjennom hensiktsmessige vurderingsformer, medan eksamen gir innblikk i det eksamen kan gi innblikk i.
Skriftleg eksamen vart innført i ei periode der automatisering av dugleik og krav til innarbeida kunnskap var sentralt. Det er framleis sant, fordi det er ei føresetnad for å kunne utføre kompetanse på høgare nivå. Den gangen skulle og burde dei innarbeida dugleikane og kunnskapane vere effektive, altså gjennomførast korrekt på kortast mogleg tid.
Eksamen skulle altså avdekke om kandidaten hadde dugleikane, kunnskapane og arbeidskapasiteten ein forventa utifrå styringsreiskapen i faget. Dette er det ein tidsavgrensa skriftleg eksamen kan gjere, større utforskande longitudevurderingar har andre vurderingsformer som høyrer heime i standpunktvurderinga.
Eksamen var tidsavgrensa og utan hjelpemiddel fordi kandidaten skulle vise sine innarbeida evner i faget. Ein skulle løyse oppgåve med klårt definerte mål og omfang, fordi ein ville trenge desse i vidare studie og arbeidsliv. Ein sekretær trong å kunne ta diktat på ein hensiktsmessig måte, ein regnskapsfører måtte kunne rekne saman inntekter, utgifter, og kunne gjere utrekningar av skatt, rente, osb. Det er like sant no, ein må kunne å programmere, ein må kjenne til faglege samanhengar for å utvikle nye.
Oppgåvene var ikkje opphost, dei var oppbygd for at kandidaten skulle vise relevant kompetanse på relevant nivå. Det kan man ikkje når kandidaten har tilgang til hjelpemiddel som gjer det mogleg å løyse problem utan relevant kompetanse. Derfor må ein avgrense hjelpemiddel på ein eksamen, hjelpemidla undergrev faget og kompetansevisinga til kandidaten.
Kompetanseomgrepet som vi bruker no passer dårleg inn i ein tidsavgrensa skriftleg eksamen. Ein kan ikkje utforske på tid, da vert det tilfeldig om ein oppnår Eureka tidsnok. For Arkimedes kom det i følgje soga då han satt i badekaret, utan det ville han ikkje ha innsett oppdrift. Newton hevda at eit eple var forløysande for oppdaginga av tyngdekrafta. Ingen av desse satt på ein fem timars eksamen og gnura, derimot hadde dei brukt mange timar før og etter på å fundere på det forløysande augeblinken. Dette passer til andre vurderingsformer enn eksamen, og bør derfor ligge under standpunktvurdering og ikkje skriftleg fem timars eksamen. Arkimedes brakte oppdaginga si til kongen (munleg framføring), Newton skreiv bok (skriftleg avhandling).
Ein utforskar ikkje vilkårleg, ein utforskar strukturert. Til dømes er klassisk funksjonsdrøfting der ein finn eigenskapane til funksjonen utifrå matematiske reiskapar utan digitale hjelpemiddel og teiknar opp funksjonen for hand, strukturert utforsking. Når ein teiknar opp ein geometrisk figur og analyserer seg fram til samanhengar, bruker trigonometriske verktøy, og løyser problem utan digitale verktøy, så er det utforsking med fagkunnskap.
Opne eller temamessige utforskande oppgåver er ikkje eigna for ein fem timars eksamen. Difor kan ein ikkje vurdere dette på ein tidsavgrensa eksamen på ein rettvis måte. Det hjelp ikkje kor mykje ein fiklar på oppgåvene, ein stor del av elevmassa vil ikkje greie å løyse oppgåvene fordi dei ikkje kjem til den augeblikket der forkunnskapane med eit fell på plass på ein avklarande og innsiktsfull måte. Det vil vere ein stor grad av flaks som skil mellom kandidatar med ekvivalente forkunnskapar, dugleikar og kompetanse. Det vert ein tilfeldig og med det urettvis vurdering.
Den siste eksamensoppgåva på H21 1T (oppgåve 8 del 2) var eit grelt eksempel, den er for enkel og for forvirrande. Ein god elev ville ha løyst denne oppgåva ved formlikskap, modellering og optimalisering, men fordi ein tek utgangspunkt i nokon på eit særs lågt fagleg nivå (er det 7-klasse?) så legg ein opp til ein lite fagleg måte å løyse oppgåva på. Den viser ingen djupn i fagkunnskap, den er overflatisk og etterlet eit inntrykk av særs lågt fagleg nivå.
Så kva eignar ein eksamen seg til. Jo, avdekking av om kandidatane har tilegna seg dugleikar og kunnskapar. Dette er framleis viktig, fordi når ein skal oppnå Eureka må ein først vite mykje om tema som tilsynelatande har ingenting med kvarandre. Ein kandidat med høgt nivå av innarbeida dugleikar og kunnskapar vil ha større forutsetningar for å kunne vere kreativ, nyskapande, innovativ, og utforskande, enn ein som har overflatiske eller sporadiske kunnskapar og dugleikar.
Ein kan her argumentere for at dugleikar og kunnskapar er ei føresetnad for skaparevne, dermed vil ein eksamen som kontrollere dette også indirekte avdekke om eleven har evner til å utforske og innovere. Då burde kanskje eksamen vere nettopp det, ein plass til å avdekke innarbeida dugleikar og kunnskapar.
Ein slik eksamen vil måtte ha minst mogleg hjelpemiddel som gjer dugleiken for kandidaten, altså slik ting som CAS, microsoft mathematics, og grafteiknar. Til dømes kan ein diverre løyse alle røyndomsnære oppgåver i trigonometrien ved å teikne opp figuren i geogebra, og la geogebra rekne ut lengder, vinklar og areal. Når vi opnar for at elevane sjølv skal velje hensiktsmessige hjelpemiddel, og står fritt til å velje framgangsmåte, så vil ein rein teikneløysing vere like god som ein som nyttar seg av trigonometriske samanhengar, sjølv om det er totalbom på læreplanen.
Det vil vere ting som vi kan diskutere om elevane skal pugge eller ei, til dømes formlar. Personleg meiner eg at formlar som er innarbeida ligg meir parat og dermed enklare tilgjengeleg enn dei som må leitast opp, men ei formeloversikt på eksamen er eg ikkje imot.
Vi ynskjer at elevane skal tileigne seg dugleiken å programmere. Dette er ein dugleik, det er ikkje ein kompetanse slik vi forstår det i dag. Programmering er eit verktøy, ikkje ein innovasjon. Dette vil fordre at delar av eksamen er digital. Derfor meiner eg at den optimale eksamen, sidan eksamen av sin natur må vere eit indirekte mål og ikkje eit direkte mål av kompetansen kandidatane har i høve læreplanen i matematikk 1T, R1, R2, S1 og S2, bør vere organisert på følgande måte
Del 1:
• 4 timer på papir, uten datamaskin, leveres digital av skolen slik det har vært digital levering de siste 7 årene.
• Ingen digitale hjelpemiddel (man kan vurdere formelsamling og enkel lommeregner)
• Utforskende oppgaver skal være strukturerte, ha klåre mål og omfang. Eksamen skal vise om kandidaten har tilegna seg faglege dugleikar og kunnskapar. Blant anna kunne tegne grafer utifra egenskaper (lineære, polynom, rasjonale funksjoner, trigonometriske funksjonar, sammensette funksjoner, det ligg mye innsikt i å finne fram til egenskapene til en funksjon, dette er utforskande faglege reiskapar, ingen driv utforsking på måfå)
Del 2:
• Programmering og bare programmering (CAS, graftegner, regresjon osb er uhensiktsmessige verktøy som er særs stor grad sorte bokser som hindrar innsikt og forståing).
• 1 time.
Veldig mange gode poenger, jeg støtter innlegget helhjertet!
I min drømmeverden hadde eksamen vært 5 timer på papir med enkel kalkulator. Da kunne jeg brukt tiden jeg har med elevene til å lære de matematikk, ikke ulike hjelpemidler.
Takk.
Vi deler same vyer.
Det kjennast ut for meg at ein ikkje forstår kvifor vi har matematikk. Matematikken er språket (koda) som ligg bak alt vi gjer, via å forstå den, avdekker vi naturen og teknologien. Matematikken kjem altså før teknologien, ein kan dermed i liten grad (og ofte overflatisk) forstå matematikk ved teknologi, men ein kan forstå all teknologi og mykje av naturen gjennom matematikk. Ein set altså kjerra framfor hesten når ein reduserer matematikk til å kunne bruke matematisk programvarer.
Eg er skremt over ein del kortslutningar som vert gjort.
Samtidig er det ein tiltru til digital teknologi som avdekker at ein eigentleg ikkje forstå kva digital teknologi er. Innan mykje forsking i dag vert digitale matematiske verktøy brukt der det ikkje er gurnnlag for det. Ein bruker til dømes regresjonsanalyse på ting som ikkje har nokon underliggande matematisk modell ved seg. Slike data bør håndterast som statistikk.
Til dømes bør ein aldri kjøre ei regresjonsanalyse på kor mange born som får eit spesifikt namn kvart år, men ein kan sette opp ein statistikk over dette. Mykje av døma i bøkene og på eksamen i vidaregåande lid under dette. Ein kan ikkje bruke regresjon på koordinata ei grein utgjer i eit koordinatsystem, ein kan ikkje lage regresjonsanalyse på mønsterdypna til dekka på ein bil, ein kan ikkje lage ein matematisk modell for antall cruiseanløp i norske hamner (eksamen), osb.
Den lette tilgongen til matematiske verktøy har ført til ein produksjon av matematisk data som er ganske tvilsam. Særleg innan samfunnsvitenskapen har dette vorte utbrett, men også i media, politikk, og andre plassar. Ved å sei at eksempla over er ok, så bidreg vi til denne trenden med tvilsam bruk av matematikk fordi dei som bruker det kan berre å bruke verktøya, dei har ikkje noko forståing av kva som er vilkåra for bruk av reiskapane.
Samtidig har ein ei tiltru til big data utan å forstå at dette også har store manglar. I bunn og grunn er big data seleksjonsprosedyrer der ein legg merke til mønster grunna frekvensen. Igjen så forutset ein at det er ein underliggande samanheng som ein avdekker, men det er ikkje sikkert, det kan vere at det berre er fordommar eller skeivheiter i det valgte datasettet. Til dømes oppdaga ein at anletsgjenkjenning på Iphonar var dårleg til å indentifisere personar med mørk hud, fordi maskinlæringa hadde bias.