Prosedyrenes plass i matematikken

Stig Eriksen er forsker ved Universitetet i Agder, Institutt for matematiske fag. Han sitter i Utdanningsdirektoratets arbeidsgruppe som skal gi råd om endringer i matematikkeksamen. Medlemmene av gruppen deler sine perspektiver på matematikkeksamen utover våren. Innlegget nedenfor gir uttrykk for skribentens egne meninger om matematikkeksamen.

Vi må sikre at elevene får opplæring i prosedyrer som gir gjennomsiktighet inn i matematikkens resonnementer, begrunnelser og framgangsmåter. Jeg mener derfor matematikkeksamen må ha en egen del uten hjelpemidler.

Med matematikkdidaktikk som fag er fokuset mitt rettet mot de med fordypning i matematikk i grunnskolelærerutdanningen, de som går lektorstudiet med matematikk som fag og de som skriver masteroppgave i matematikkdidaktikk. Det er en selvfølge for meg at læreplanen ofte er i fokus i min undervisning og veiledning ved UiA.

Da jeg ble kontaktet av Norsk Matematikkråd med spørsmål om å delta i arbeidsgruppa som skal jobbe med eksamen fra våren 2023, var jeg i utgangspunktet litt åpen i spørsmålet om hjelpemidler på eksamen. Det viktigste for meg var at eksamen støttet opp om den nye læreplanen og intensjonene der. Med lang erfaring fra videregående skole visste jeg også hvor viktig eksamensoppgavene er, fordi de fungerer som veiledning for lærere i planlegging av undervisning. Jeg tenkte derfor at denne gruppas arbeid er viktig og interessant, og jeg svarte ja med en gang!

Prosedyrenes plass i matematikken

Når jeg så skulle representere Norsk Matematikkråd måtte jeg sette meg inn i grunnlaget for rådets argumenter og speile det i mitt syn på matematikk og læring. Dette har ledet meg til å tenke på prosedyrer. På hvilken måte er prosedyrer en del av det å lære matematikk? Hvordan vil prosedyrene bli om man har hjelpemidler tilgjengelig hele tiden? Betyr det at vi trenger en del uten hjelpemidler på eksamen?

Det er lett å være enig i at det å gjennomføre en prosedyre uten å forstå hva man gjør ikke er særlig verdifullt. Sawyer (2006, s. 4) kaller dette «Traditional Classroom Practices (Instructionism)». Ludvigsenutvalget oversatte dette til «overflatelæring» og henviser til at dette ofte beskrives som en motsetning til den dybdelæringen som blir framhevet i utredningen (NOU 2014:7).

Ofte blir prosedyrer knyttet til en del uten hjelpemidler på eksamen, og la oss tenke på det slik nå, selv om jeg nyanserer det synet litt lenger nede i teksten. Lærere ønsker selvfølgelig dybdelæring for sine elever, og vi ser fra kommentarfelt at svært mange lærere ønsker en del uten hjelpemidler på eksamen. Men ligger det en selvmotsigelse i å ønske både dybdelæring og prosedyrekunnskap hos elevene? Jeg vil vise at det gjør det ikke.

Dersom vi tolker begrepet å forstå fra et individorientert kognitivt læringssyn, slik vi har det fra Piaget eller radikal konstruktivisme, så gjør det kanskje det. I denne tradisjonen skriver Skemp (1976) om instrumentell og relasjonell forståelse og sier at det er nesten som om det finnes to forskjellige matematikkfag i skolen – etter hvilken type forståelse som er målet med undervisningen. Disse to begrepene satt opp som motsetninger i forhold til læring og forståelse, kan være fine ord for å snakke om undervisning og skole, men virkeligheten har som kjent gjerne mer enn to sider.

Nyere sosiale læringssyn bruker ikke begrepet forstå på sammen måte som Piaget. Det er ikke lett å skrive om det med få ord, men jeg synes at Lave & Wenger (1991, s. 102) forklarer det fint når de diskuterer gjennomsiktighet.

Når vi endrer vår deltakelse i en sosial verden vil vi også endre vår bruk av verktøyene våre, og vi kan si at det å forstå er at vi knytter verktøybruken til noe utenfor oss. Verktøy må her tolkes i vid forstand og inkluderer prosedyrer vi kjenner. De bruker et vindu som metafor og sier at det som gjør et vindu til et vindu, er at vi kan se gjennom det. Men det er ikke et vindu uten av vi også kan se på vinduet som en ting i seg selv. Vi kan tenke oss at to elever som utfører en prosedyre, f.eks. løser en likning, tenker helt forskjellig om hva de egentlig gjør. Den ene «ser gjennom» likningen og ut på verden for å gi mening til aktiviteten. For den andre er likningen ugjennomsiktig foreløpig, hen har nok med å fokusere på prosedyren og likningen i seg selv. Men sosiale læringsteorier vil aldri kalle ugjennomsiktig og gjennomsiktig for motsetninger. De er i et komplisert samspill av både konflikt og synergi. Begge er alltid til stede og man kan ikke ha den ene uten å ha den andre, for da ville det ikke være et vindu. For å prøve å knytte eksemplet til metaforen, elevene kan ikke komme til et fokus gjennom prosedyren med likningen, uten et samspill med fokus på prosedyren.

Endret læringssyn

Når læringssynet har endret seg, har også grunnlaget for læreplaner endret seg. I stedet for å snakke om å forstå som noe som skjer i hodet på eleven, brukes ordet kompetanser for å gi et bredere bilde av hva det er å kunne matematikk. En viktig premissgiver for LK06 var det danske KOM-prosjektet (Niss & Jensen, 2003). Det beskriver 8 kompetanser, og eksemplifiserer symbol- og formalismekompetanse (s. 58) med flere eksempler, som det å kunne at 5 ∙ (3 + 4) ikke er det samme som 5 ∙ 3 + 4, og det å kunne utføre omskrivingen 3x³ – 2x² – x = x(3x² – 2x – 1) = x(x-1)(3x + 1). Niss og Jensen kaller det «spillereglene» for formelle matematiske systemer. I tråd med et moderne læringssyn legger de vekt på at alle kompetansene er uløselig knyttet sammen.

Mange har nok også sett modellen fra Kilpatric m. fl. (2001) som Matematikksenteret bruker mye, der fem kordeler er flettet sammen til et tau, og hvor «Procedural Fluency» er en av delene som matematisk kompetanse består av. Her er også en del av poenget det samme som hos Niss – de forskjellige delene er flettet sammen til en helhet som prosedyrene er en del av. Carolyn Kieran har forsket mye på algebra og vist oss hvordan prosedyrekunnskap henger sammen med begrepsmessig forståelse (Kieran, 2013). Nosrati og Wæge (2018 s. 5) ved Matematikksenteret bruker de fem delene i Kilpatrics trådmodell, diskuterer dette fra Kieran i sammenheng med Skemp (1976), og knytter det hele sammen med dybelæringsbegrepet. De formulerer det fint på norsk for oss:

Prosedyrekunnskap og begrepsmessig forståelse betraktes ofte som to motsatte poler som konkurrerer om oppmerksomheten i skolematematikken. Men å sette dem mot hverandre skaper en falsk dikotomi og en antagelse om at prosedyrekunnskap er verdiløs. Tvert imot, så vil slik kunnskap være nyttig og nødvendig i mange sammenhenger. Prosedyrekunnskap og begrepsmessig forståelse henger tett sammen og støtter hverandre, og forskning fremhever betydningen av en integrert og balansert utvikling av begreper og prosedyrer i den matematiske læringsprosessen.

Som jeg nevnte innledningsvis, trenger vi ikke knytte prosedyrekunnskap til en del uten hjelpemidler. En prosedyre kan like gjerne være å søke etter et regneark på datamaskinen der man har regnet ut prisen før merverdiavgift og deretter sette tallene fra en ny oppgave inn i det samme regnearket, eller etterlikne løsningsforslag til tidligere eksamensoppgaver.

Hvilke prosedyrer ønsker vi i matematikkfaget?

Vi har lett for å si at slike prosedyrer er meningsløse, like meningsløse som å utføre en utregning eller følge noen algebraregler uten å tenke. Men sier vi dette så gjør vi to feil. For det første kan man ikke utføre prosedyrer uten å tenke, selvfølgelig må man tenke. Det vil si at i alle prosedyrer bruker man en form for matematisk kompetanse. For det andre mener jeg at en prosedyre uten hjelpemidler skaper gjennomsiktigheten på en annen måte enn med hjelpemidler, og derfor er med på å skape mening på en annen måte.

Vi kan altså ikke sette likhetstegn mellom prosedyrer med og uten hjelpemidler, og vi må derfor være veldig bevisste på hvilke prosedyrer vi ønsker i matematikkfaget. Et moderne syn på læring vil alltid tegne et nyansert bilde av prosedyrenes plass i vår matematikkompetanse, og hvordan de kan øke gjennomsiktigheten når vi skaper mening i vår tilværelse.

For meg er det å kunne lese et direkte bevis, eller å vite hva som ligger bak et prosenttall, en viktig del av det å kunne matematikk. Matematikkens deduktive oppbygning er en del av dens innerste vesen, og selv der jeg ikke kjenner bakgrunnen til matematiske resultater så er jeg trygg på at det ligger en logisk oppbygging bak.

Eksamens betydning for opplæringen

Vi vet at eksamen har betydning for det som skjer i klasserommet, og en eksamen med en del uten digitale verktøy sikrer at elevene får opplæring i prosedyrer som gir gjennomsiktighet inn i matematikkens resonnementer, begrunnelser og framgangsmåter.

For min del er svaret derfor et klart «Ja» på at vi trenger en del uten hjelpemidler på eksamen. Både forskning om eksamens betydning for opplæringen, og teorier om hva det vil si å forstå, støtter etter mitt syn at noe annet ville være et gigantisk eksperiment om våre barns framtidige tankesett.

Referanser

• Kieran C. (2013) The False Dichotomy in Mathematics Education Between Conceptual Understanding and Procedural Skills: An Example from Algebra. In: Leatham K. (eds) Vital Directions for Mathematics Education Research. Springer, New York, NY.
• Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (red.)(2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, National Research Council. DC: National Academy Press.
• Lave, J. & Wenger, E. (1991). Situated learning. Legitimate peripheral participation. Cambrigde University Press.
• Niss, M. & Jensen, T. (2002). Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark.
• Nosrati, M. & Wæge, K. (2018). Dybdelæring i matematikk.
• NOU 2014:7 Elevenes læring i fremtidens skole – Et kunnskapsgrunnlag. 
• Sawyer, K. R. (2006). Introduction: The New Science of Learning. I Sawyer, K. R. The Cambridge Handbook of The Learning Sciences. New York: Cambridge University Press.
• Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics teaching, 77(1), 20-26.

Foto: Jeswin Thomas, Unsplash.