Mange har fått med seg kritikken mot endringane i matematikkeksamen etter nye læreplanar. Som et resultat av dette blei det tidleg i haust kjent at eksamen i matematikk skal gjennomførast som todelt eksamen i «gamal» løysing fram til våren 2023.
Fram til da skal vi greie ut moglege løysingar for framtida. Det skal vi i Utdanningsdirektoratet gjere saman med ei arbeidsgruppe som er sett saman i samarbeid med vår eksterne referansegruppe for vurderingsfeltet.
Vi skal dele frå arbeidet til gruppa undervegs, og vi vil at så mange som mogleg engasjerer seg. Meir om det lenger ned. Først litt om kven som deltek i arbeidsgruppa, kva problemstillingar dei skal arbeide med og kva dei skal levere.
Kven deltek i arbeidsgruppa?
Det er lærarar og lærarutdannarar som sit i arbeidsgruppa. Deltakarane er oppnemnd av lærarorganisasjonane, landslaget for matematikk i skolen, norsk matematikkråd og av oss.
| Namn | Arbeidsplass | Oppnemnd av |
| Marianne Utle | Stovner vgs | Utdanningsforbundet |
| Rune Haukeland | Hersleb vgs | Norsk lektorlag |
| Mona Forsbakk | Polarsirkelen vgs | Skolenes landsforbund |
| Kari-Anne Bjørnø Rummelhoff | Gressvik ungdomsskole | Landslaget for matematikk i skolen |
| Stig Eriksen | Universitetet i Agder | Norsk matematikkråd |
| Linda Gurvin Opheim | Universitetet i Agder | Utdanningsdirektoratet |
| Ingeborg Sletta | Rauma vgs og NTNU | Utdanningsdirektoratet |
Kva problemstillingar skal arbeidsgruppa arbeide med?
Målet er å lage ein så god eksamen som mogleg for elevane, og ein plass å fortsette arbeidet er å lage oppgåver saman. På den måten kan vi betre forstå dei ulike behova knytt til eksamen.
Arbeidsgruppa skal rett og slett arbeide med å lage konkrete oppgåver saman med oss. Saman skal vi svare på spørsmålet: «Kva kompetanse er det viktig at elevane for moglegheit til å vise på eksamen?».
I tillegg skal arbeidsgruppa undersøke, diskutere og svare på eit sentralt spørsmål i debatten: Treng vi ein del utan hjelpemiddel på eksamen?
Kva rammer må arbeidsgruppa halde seg til?
I arbeidet med moglege løysingar for eksamen, må arbeidsgruppa alltid ta omsyn til dei nye læreplanane. I tillegg skal oppgåvene prøvast ut på elevar.
Kva rolle har Udir i arbeidsgruppa?
Vi i Udir legg til rette for arbeidsgruppa sitt arbeid. Vår hovudoppgåve er å støtte arbeidsgruppa gjennom å mellom anna sikre framdrift, svare på spørsmål om rammene og hjelp til å prøve ut oppgåver.
Når skal arbeidsgruppa levere sine anbefalingar?
Arbeidsgruppa hadde første møte onsdag 17. november, og skal møtes ein heil dag i veka. Saman skal vi utvikle såkalla konseptoppgåver for alle fagkoder i matematikk som har sentralt gitt skriftleg eksamen.
Ei konseptoppgåve konkretiserer kva problem elevane skal løyse for å vise si kompetanse ut frå kompetansemåla. Ei oppgåve kan gjere det tydeleg om vi treng ein del utan hjelpemidlar eller ikkje.
Konseptoppgåvene som arbeidsgruppa lagar skal vi prøve med elevar for å sikre oss om at oppgåvene faktisk fungerer slik dei er tenkt.
Før skoleåret 2021-2022 er over skal arbeidsgruppa levere si anbefaling om sentralt gitt skriftleg eksamen i matematikk, inkludert anbefalingar knytt til bruk av hjelpemiddel. Anbefalingane blir levert til oss i Udir, og vi vil diskutere anbefalingane med referansegruppa for vurderingsfeltet. Saman skal vi finne vegen vidare for ny eksamen i matematikk.
Bidra i arbeidet du òg!
Vi skal dele ope og jamleg frå møta arbeidsgruppa har, for å fortelje om spanande og interessante diskusjonar og problemstillingar. Dette skal vi gjere heilt frem til gruppa skal levere sine anbefalingar våren 2022.
Engasjer deg saman med oss. Kommenter innlegga, og be andre om å gjere det same. Alle kommentarar blir lest og teke med vidare i arbeidet.
Del uten hjelpemidler er nødvendig for å kunne teste elevene i grunnleggende kompetanse i matematikk, også vil det etter min mening gjøre det lettere å lage gode oppgaver som faktisk måler bla om eleven kan regne. Når man forsøker å lage slike oppgaver på del to blir de fort snodige og rare, og man ikke lenger tester faktiske kompetansemål.
Det som jeg har lagt merke til på de siste eksempeloppgavene er at når man forsøker vri alt for mange oppgaver til ”problemløsning” så klarer man ikke teste kompetansemålene faget har bred nok og det blir fort mye tallregning ut av det. Jeg håper på at arbeidsgruppa aksepterer matematikkens natur som verktøy og lager en del oppgaver som tester kompetansemålene bred på en ærlig måte og ikke tvinger inn dybdeperspektiv og problemløsning i alt.
Hei Sanna, og takk for kommentaren din. Jeg er litt nysgjerrig på hvilke kompetansemål du tenker oppgaveforslagene ikke lenger tester. Hadde satt stor pris på om du kunne kommet med noen konkrete eksempler slik at jeg bedre kan forstå det du peker på. Og hvis du har tanker om oppgavetyper, så må du gjerne komme med det også som tester kompetansemålene på en bred måte, slik du beskriver.
Jeg er litt nysgjerrig på hvilke kompetansemål Udir tenker IKKE lenger kan testes UTEN bruk av hjelpemidler, unntatt der begrepene «regneark», «digitale hjelpemidler» og «programmering» inngår. Og hvilke kompetansemål tenker Udir IKKE lenger kan testes med papir og blyant?
Matematikk P skal forberede elevene på et samfunn og arbeidsliv gjennom praktisk bruk av matematikk. Svært få P- og PY-elever har Excel, CAS og Geogebra med seg videre. I praksis består hverdagens hjelpemidler av enkel mobilkalkulator, «Siri» og Google. T/R/S-kursene skal i tillegg forberede elevene på utdanning og arbeid som krever matematisk forståelse, der studier i stor grad forventer prestasjoner uten hjelpemidler. Ungdomsskolen må nødvendigvis forberede for både P, T og det som følger.
Motstanden som kom høsten 2020, etter den noe plutselige og lite forskningsbaserte innføring av heldigital matematikkeksamen, hentet stemmer fra lærere, forskere og et bredt spekter av utdanningsinstitusjoner. Udir refererte mest til seg selv. Høsten 2021 kom Udir med erkjennelsen at «åpenhet og faglig samarbeid» var en god idé(!), derav Arbeidsgruppen. Omsider får vi referanser til forskning (Stig Eriksen fra Arbeidsgruppen, i annen artikkel i udirbloggen) som viser at todelt eksamen er lurt. Mange av innleggene i denne bloggen utdyper og gir gode eksempler på det samme.
Udir forutsetter at ny eksamensordning MÅ tilpasses den innkjøpte eksamensplattformen (som forutsetter heldigital eksamen), innleggene og svarene fra Udir preges av et fortsatt forsvar av en eksamen med alle hjelpemidler, og den godt fungerende modellen med todelt eksamen omtales som «gammel». Dette antyder et samarbeidsønske med forbehold. Jeg håper Udir tar den lovede åpenheten på alvor når de mottar innspill fra lærere, forskere og representanter for samfunn og høyere utdanning, og lar det som gir best opplæring og måling av sluttkompetanse styre, mer enn eksamensplattform og evt. kjepphester.
Det er en stor trussel mot matematikkfaget å utelukkende ha alle hjelpemidler tilgjengelig. Regneferdigheter og tankegang/metode for løsning av oppgaver ligger som en viktig basis i faget; tar vi det bort endrer vi hva matematikk er som fag. Mennesker som bruker matematikk trenger å kunne regne og forstå grunnleggende calculus. Dersom eksamen blir heldigital vil denne kompetansen forsvinne. Vi har ikke tid til å lære elevene både å regne for hånd og forberede dem på å løse de etterhvert ganske så sammensatte, kompliserte og «drøftingstunge» oppgavene som det legges opp til på tidligere utgitte eksempelsett. (nivået har vært slik at elever med en «tradisjonell» svak 4 eller lavere mest sannsynlig stryker fordi inngangsterskelen er så høy).
Jeg savner en faglig begrunnelse for ønsket om en heldigital eksamen. Argumenter som «ny læreplan krever ny eksamensform» og «fremtiden er digital» gir ingen mening, og jeg har tilgode å se en matematikkfaglig begrunnelse for dette behovet for eksamensform.
Dersom vi beholder heldigital eksamen kan vi også slutte å kalle faget «studieforberedende». Det er ikke mange matematikkfag på grunnfagsnivå som tillater andre hjelpemidler enn enkel kalkulator. Det vil bli et sjokk for elever å komme til høyere utdanning og for første gang skulle skrive matematikk på papirark med en penn eller blyant. Det er også lite som tyder på at heldigitale matematikkeksamener blir innført med det første på univerisiteter og høyskoler. Udir har vel ikke noe med den delen av utdanningssystemet å gjøre.
Til sist. 3+2 fungerer utmerket for fordypningsmatematikk, 2+3 for praktisk. At vi har «gammel ordning» nå er ikke riktig. 1+4 er nesten heldigital og gjør at eksamen er meget annerledes enn før.
Hei Øyvind, og takk for kommentaren din. Så vidt jeg vet er ikke eksamenene i universitetene todelte heller, men du skriver at universitetene tillater enkle hjelpemidler på sine eksamener. Er dette noe du tenker kan være aktuelt for eksamen i skolen også?
Flott at flere får mulighet til å arbeide med endringen i matematikkeksamen. Som lærer i 10.klasse må jeg si at når dette arbeidet avsluttes våren 2022 er det i god tid for fremtidens eksamener men… Det er store endringer også i vårens eksamen, og det er enda ikke (så vidt jeg vet) kommet en eksempel oppgave som er i tråd med at sluttvurderingen kun skal vurdere kompetansemål fra 10.trinn. Det er kommet signaler om at udir ikke er ferdige i vurderingen enda (om kun kompetansemål fra 10.trinn skal vektlegges til eksamen) -dette er på tide å få avklart! Det har store konsekvenser for både skriftlig og muntlig/praktisk eksamen. For elever som har hatt 2 år med korona, ny læreplan midt i ungdomsskolen og en ny eksamensform som enda ikke er avklart så er jeg bekymret for hvordan både lærere og elever vil håndtere eksamen i matematikk dette året. Kommentaren er definitivt på siden av artikkelen men jeg håper temaet kan bli tatt opp i udirbloggen 🙂
Ja, er også i ungdomsskolen og har kommet inn i en 10. klasse nå etter jul. Vi som jobber med klassen lurer svært på hva/hvordan det blir i mai!
Men det er jo som du sier litt på siden for eksamen etter 2022.
Deler den samme bekymringen for dette kullets 10-klassinger!
De er berørte av corona alle tre årene på ungdomsskolen, samtidig som de er første kullet ut med ny læreplan.
Hei Kristin, Kristin og Marte.
Takk for kommentaren. For ordens skyld gjør jeg oppmerksom på at denne arbeidsgruppa ikke jobber med dette spørsmålet.
Vi har oppdatert informasjonen vår om grunnlaget for sluttvurdering i matematikk etter 10. trinn og dere finner den her: https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/fagspesifikk-stotte/standpunktvurdering-i-matematikk/
Forhåpentligvis er denne klarer og svarer på spørsmålene deres.
Jeg var i utgangspunktet veldig positiv til den nye eksamensformen med hjelpemidler tilgjengelig på hele eksamen. Det ga meg som lærer et handlingsrom jeg ikke tidligere hadde i forhold til å kunne gå langt mer i dybden på større og mer komplekse oppgaver – også for de med lav måloppnåelse (siden de slapp å pugge så mange formler og i større grad kunne fokusere på forståelse og anvendelse).
I forhold til fremtidens oppgaver og yrker, så er det helt naturlig at også matematikkfaget tar inn over seg det faktum at folk flest faktisk jobber med hjelpemiddel når de skal utføre arbeidsoppgaver. I min tidligere jobb som programmerer brukte jeg matematikk i ulik grad, men jeg husket faktisk ikke alle formlene utenat, og måtte søke opp dette. Jeg husket derimot anvendelsen av de, og hva jeg kunne bruke hvor, og jeg tenker at det er denne type kunnskap som dere i størst mulig grad må fange opp gjennom en eksamen. De fleste av dagens elever skal ikke bli matteprofessorer eller andre tilsvarende yrker, men trenger ballast til å kunne bruke matematikk i en praktisk sammenheng. Og «praktisk sammenheng» trenger ikke å bety oppmåling av 1,2 liter melk, det kan fint være algoritmer for å lage bølger i et simulator-verktøy.
Samtidig ser jeg at det å ha en del uten hjelpemidler vil kunne være gunstig for å teste noen element som kan bli «kunstige» å teste med hjelpemidler.
HVIS dere lander på at det blir en del uten hjelpemiddel, så har jeg et par ønsker:
1. Jeg håper at delen uten hjelpemidler blir på maksimalt 40 % av eksamen – uansett nivå. Et høyere tall vil i for stor grad gå på bekostning av større oppgaver en kan bruke/få på «del 2». Aller helst bør den ligge en plass mellom 20 og 30 %.
2. Jeg håper at dere kan lage en veiledning som i vesentlig grad kan si noe om hva en kan forvente å få på en eventuell «del 1». Det bør ikke være slik at elevene må lære seg (les: «pugge») absolutt alle formler i boka hvis de kun må huske de på 20-30 % av eksamen. Da går for mye tid bort til pugg, og for lite tid igjen til forståelse og anvendelse.
Hei Ørjan, og takk for kommentaren din. Du skriver at du ser at noen element kan være gunstige og teste uten hjelpemidler tilgjengelig. Har du noen eksempler på hva disse er, og hvilke kompetansemål de eventuelt er beskrevet i?
Det er sikkert mange eksempel jeg ikke kommer på nå, men ett konkret eksempel er bruk av de ulike reglene for derivasjon. Hvis det er et overordnet mål/ønske at elevene skal lære seg derivasjonsreglene, så er det en typisk ting som kanskje bør testes på en «del 1».
Jeg tenker at en fint greier å lage gode derivasjonsoppgaver på del 2 hvor en både kan anvende derivasjon og analysere ting både opp og ned uten å kunne derivasjonsreglene. Samtidig ser jeg at det går en god del tid til innlæring av disse reglene, og da kan det virke som litt «waste of time» hvis det ikke blir testet på en del 1.
Og det jeg sier her går også litt over på punkt 2 i mitt opprinnelige innlegg, hvor det klar bør defineres om f.eks. derivasjonsreglene er noe som elevene må kunne uten hjelpemidler, eller om det ikke er det. De ulike lærebøkene har en litt ulik tilnærming til denne problematikken, så veldig greit med en avklaring rundt slike spørsmål.
Hei Ørjan og tusen takk for svaret. Det er til god hjelp i arbeidet videre.
Hvorfor har dere ikke valgt noen med innvandrerbakgrunn i gruppa?
Den største trusselen mot elevens rettssikkerhet er at eksamensoppgavene ofte har en ordlyd som
er komplisert og egnet til å virke misvisende. Dere glemmer hvem skal løse oppgaven; det er ikke 30 åringer fra Oslo vestkant, men også ungdom fra Stovner og Bjørndal.
Dere må jobbe med å skrive bedre. Ikke fordi barn fra Stovner ikke ka norsk. Men rett og slett fordi dere ofte skriver så komplisert at selv språket til Udir blir dårlig.
Jobb med språk! Det er flaut at Udir ikke har klart å prestere bedre hva gjelder språklig presisjon.
Hei Svein, og takk for kommentaren din. Arbeidsgruppa er nedsatt av partene i fagfornyelsen, så vi kan ikke svare for alle dem. Av de to medlemmene vi har valt, har vi søkt etter personer som har en bred kompetanse i og erfaring fra arbeid med matematikk, læreplanarbeid og vurdering. Vi forsøker alltid å representere bredden i befolkningen når vi setter ned arbeidsgrupper som dette, men med to personer begrenser mulighetene seg naturligvis.
Jeg blir nysgjerrig når du skriver at språket i eksamensoppgavene har en komplisert og misvisende ordlyd. Jeg hadde satt stor pris på om du kunne kommet med noen konkrete eksempler fra de siste års eksamener. Vi jobber hele tiden med språket og har fokus på klarspråk i alle sammenhenger. For å være presis er det av og til vanskelig å unngå vanskelige ord.
Ikke bare har eksamen et dårlig språk. Også
læreplan bærer preg av alvorlige mangler og særdeles dårlig språk. Et utdrag fra læreplan:
«Kjerneelementene i de nye læreplanene i matematikk legger vekt på utforsking, problemløsing, modellering, anvendelse, argumentasjon, representasjon og kommunikasjon, abstraksjon og generalisering..»
Dette er svært komplisert og dårlig språk. Tror dere virkelig elever på vg1 forstår dette? Husk at dette er elever som akkurat har fullført ungdomsskolen.
Jeg har lest gjennom dine svar her. Det eneste man kan utlede av disse svar er: Dere har ikke evne og vilje til å ta innover dere kritisk tilbakemelding.
Dere må ta en gjennomgang av læreplan og kompetansekravene og forstå at målet ikke bør være å forvirre, men formidle
Hei Svein, takk for svaret ditt. Målgruppa for læreplanen er lærere og vi håper at lærere i matematikk forstår de kompliserte ordene som anvendelse, argumentasjon og abstraksjon og at lærere klarer å forklare disse for elevene.
Kritikken tar vi gjerne inn over oss og vi arbeider løpende med å gjøre endringer basert på innspill vi får, men det er også demokratiske prosesser der flere enn en side deltar i prosessene.
Du erkjenner altså at Udir utarbeider læreplan for lærere. Dere er ikke opptatt av å formidle til elever. Hva tenker Udir om lærerens oppgaver her? Skal vi bruke uker eller måneder på å forklare kompliserte begreper for elever? Jeg har foreløpig ikke brukt en time på forklare noen hva begreper dere bruker betyr. Stakkars privatister som må sette seg inn i læreplan på egenhånd. Jeg må si at din kommentar er urovekkende. Dere skriver læreplan som er offentlig tilgjengelig og som angår elever, men har verken evne eller vilje til å formidle på en presis og enkel måte. Husk at det å være flink i norsk ikke betyr å kunne skrive komplisert!
Først må vi skilje mellom faga, det er ein fundamental forskjell på P-løypa og T-R-S løypa. Ungdomsskulen skal førebu til begge og bør derfor ha ein mellomvariant.
Det andre er at eksamen har vore digital og universell dei siste 5-10 åra, alt har vorte skanna inn, det er ei effektiv og dekkande løysing for realfaga. Matematikk vert ikkje betre på word, og det sei eg som har brukt word til matematikk i årevis. Ei teknisk løysing bør medføre at eksamen vert skanna, det mest effektive er at skulane gjer dette og ikkje elevane.
Eksamen må ha ein del 1 utan digitale verktøy fordi elevane faktisk må kunne og forstå matematiske samanhengar, algoritmar, og strukturer. Dei må kunne bruke formel matematisk notasjon og resonnement både for å forstå, skrive og utvikle matematiske tekstar, det er uhensiktsmessig å gjere dette i word fordi syntaksen er krunglete og tidkrevjande, og derfor utanfor det ein bør bruke tid på når det er ein femtimarseksamen.
Dersom norske elevar ikkje tileignar seg desse evnene, men berre kan å bruke digitale verktøy, så har vi flytta matematisk forståing og kunnskap ifrå norske elevar til utanlandske programmerarar, altså er det ikkje norske elevar som løyser problema, dei sett dei berre opp, det er algoritmane til programmerarane som løyser problema. Dette er eit sikkerheitsproblem!
Elevane vil berre kunne bruke digitale verktøy som raskt vert utdater. Dei vil ikkje kunne utvikle nye verktøy eller matematikk. Noreg vil vere prisgitt andre land sin kompetanse. Derfor må størstedelen av eksamen i T, R og S vere utan digitale hjelpemiddel (helst tre timar) og på papir med skrivesaker (eventuelt vedlagt formlar), for korleis man hindrar eleven i å bruke digitale verktøy når ein har ei datamaskin forstår ikkje eg.
Det er dei digitale hjelpemidla som er primærproblemet, dei gjer matematisk kunnskap uvesentleg for å greie å løyse enkeltproblem. Dei flyttar forståing av matematiske samanhengar og løysingsalgoritmar frå eleven til programmeraren, og dermed reduserer vi elevane sin kompetanse til å kunne bruke digitale hjelpemiddel og ikkje noko meir.
Sekundært er word og andre skriveprogram svært lite egna til å føre matematikk, det tek mykje lengre tid å skrive \cdot og bruke alt+x enn å skrive gongeteiknet for hand. Latext og nedtrekksmenyer er endå treigare. Dermed misbruker ein tid på skrive matematikk digitalt. Dette bør vi ikkje gjere på ein femtimarseksamen, det høyrer heime når elevane skal skrive avhandlingar.
Hadde nettopp ein elev i 1T som lurte på om han skulle skrive opp potensreglane ved sidan av når han rekna ut. Dersom det var på papir, tek ikkje det lang tid og det er veldig grundig og ordentleg, ein bør dokumenter kunnskap, men digital ville det vere galskap å bruke tid på det. Dette illustrere kor mykje betre og oversiktleg det er å føre matematikk på papir. (Ja, mine elevar utforskar potensreglane i 1T fordi dei skal lære om potensfunksjonar og då bør dei kunne potensreglane også, om ikkje så vert potensfunksjonane veldig overflatisk og ikkje djupnelæring).
Digitale flate er dårleg egna for dei naturlege utforskingsteknikkane, slik som å teikne hjelpefigur eller andre figurer, tankekart, drodle, sette opp samanhengar rundt på eit ark for å for oversikt. Alle desse tinga er ein naturleg del av det å utforske, vurdere, strukturer, skaffe seg oversikt og oppdage samanhengar i matematikk. Når ein arbeider på ein 14’’ skjerm vil det vere krevjande å bruke digitale verktøy for dette, og er det verkeleg hensiktsmessig at elevane skal tileigne seg ferdigheiter på eit uttal apper som vil vere utdatert innan kort tid.
Opne og utforskande oppgåver er problematiske på ein tidsavgrensa skriftleg eksamen. Opne oppgåver har ikkje grenser og er derfor vanskeleg for elevane å vite når dei har svart tilstrekkeleg eller fullstendig. Utforskande oppgåver er i sin natur tidkrevjande, uthaldande, undersøkjande og alt dette krev rammer som ikkje passer inn i fem timar. Dersom ein ynskjer at den sentrale sluttvurderinga skal vere open og utforskande må ein gå bort ifrå tidsavgrensa skriftleg eksamen og til avhandling, mappe eller liknande med disputas.
Alle hjelpemiddel heile tida har ei slagside, for å unngå at enkelte skal ha fordel ved at deira lærar har gått igjennom akkurat det som kjem, så må ein lage stadig meir sære oppgåver. Eksamensoppgåvene som har vert gitt (særleg i 1T i fjor) bar preg av å vere grensesprengande. Dei hadde rekkje, induksjonsprov, oppgåver med definisjonsmengd gitt som heiltal. Det gjekk verkeleg over stokk og stein. Eksamen vert uføreseieleg og dermed vilkårleg.
Del 2 på eksamen bør vere større oppgåver som er klart definert, samt programmering. Det vil halde med 3 oppgåver på del 2, kva på 40 minutt, ei av dei bør vere å programmere noko. Programmering på del 1 er ikkje noko problem (kjenne igjen, forklare, skrive små program, osb).
Påstanden som vart fremja i fjor om at heildigital eksamen gav større breidde i oppgåvetypar var tatt ut av lause lufta, det er proveleg fleire moglegheiter når eleven må kunne både å løyse ei oppgåve utan digitale hjelpemiddel og med.
Eksamen i P-løypa handlar om kva vi ynskjer at P-elevar skal gjere i framtida, er det ok at dei berre kan å bruke digitale verktøy så treng dei ikkje ein del 1, det betyr i så fall at mange studie bør krevje S1/R1 (alle som driv med kvantitativ forsking og ikkje berre kvalitative).
Eksamen på ungdomskulen bør delast inn i ein dugleiksdel og ein bruksdel, den første bør vere ferdigheiter i ulike delar av læreplanen, den andre praktiske problemsitllingar.
Eg har utarbeida ganske mykje oppgåve i eigen praksis, om de er interessert kan eg send det på e-post, ta kontakt med meg via e-post.
Hei, og takk for kommentaren din. Du famnar breidt i det du skriv, så eg vel å spørje om berre eit par av poenga dine i første omgang. Eg opplev at du set likskap mellom utrekningar og forståing. Eg har leita i årevis, men har ikkje lukkast i å finne dokumentasjon på at dette er ein gyldig påstand. Dersom du sit på nokon slik dokumentasjon hadde eg vore evig takksam for ei lenkje eller tre.
Sjølv om eksamen er heildigital betyr ikkje dette at elevane ikkje kan nytte papir og blyant som hjelpemiddel. Det vil til dømes bli mogleg å legge ved bilete av handskrevne svar. Så eg sit att med nokre spørsmål knytt til fleire av argumenta dine mot ein heildigital eksamen. Kunne du utdjupa litt kva problemet med at eksamen er heildigital, så lenge elevane framleis vil ha papir og blyant tilgjengeleg som hjelpemiddel?
Eg ser ikkje at ein elev som bruker CAS til å løse ei likning forstår algoritmen som ligger bak å løyse likninga. Matematikk er meir enn å formulere problemstillinger på ein matematisk måte.
Eg ser ikkje at ein elev som teiknar ein graf i GeoGebra og finn nullpunkt, ekstremalpunkt og asymptoter ved å bruke innebygde kommandoer veit eller forstår kvifor grafen er slik den er.
Det er to eksempler på kunnskap som vert borte, ein veit ikkje kvifor det ein finn er sant. Er ikkje det eit fundamentalt problem?
Argumentet «det står ikkje i litteraturen» medfører ikkje at påstanden at når ein gjennomfører likningsløysing eller funksjonsanalyse, så vil ein vise forståing på eit djupare nivå enn om ein bruker eit verktøy som skjuler forskjellen på llikningstypar og funksjontypar, fordi alt har same framgangsmåte. Tast inn, velg kommando.
Papir, blyant og bilder er bra, men dersom å løyse likninga med CAS vert sidestilt med å løyse den for hånd, så er det raskare og enklare å bruke digitalt verktøy enn å gjøre det for hånd. Dette til tross for at eg meiner det er gode gruner til å hevde at ein viser ein vidare og djupare kunnskap ved å kunne utføre likningsløysing eller funksjonsdrøftig framfor å overlate løysinga eller drøftinga til programmereren.
Ein kan krevje at eleven skal løyse oppgava på ein spesiell måte, men to problem oppstår då:
1) Vi har definert CAS som ekvivalent med rekning på papir.
2) vi har dataprogram som viser all mellomrekning, og dermed kan elevane skrive av direkte utan å vise nokon som helst reell kunnskap.
Derfor sei eg at det er dei digitale hjelpemidla som er problemet, fordi med dei vert store delar av læreplanen borte.
Det er ingen grunn til at kompetansemål i 1t til dømes skulle sei løyse andregrads- og tredjegrads-likninger og ulikskapar når teknikkene for å løyse desse er borte. I CAS er det heilt likt.
Dette medfører at ein må lage kunstige oppgaver som ikkje viser om eleven faktisk kan å løyse slike problem, men skal i staden kommentere ein anna si løysing. Det er ikkje ekvivalente kunnskapar eller dugleik.
Dei ikkje-digitale hjelpemidla er mindre kritisk, notater og bøker kan gi elevane eksempel å følge, men eleven må framleis benytte kunnskapen på nye tal eller problem. Dei digitale hjelpemidla, CAS, graftegner, Microsoft mathematics, og andre komande verktøy (dette vert ein marknad), tømmer matematikken for innhold, det er så mange kunnskapar, dugleikar og forståing som vert vekk, at ein ikkje kan oppfylle det som står i læreplanen.
Eg ser ikkje korleis ein skal blokkere desse. I Finland har dei heildigital eksamen. Dei har ein del utan hjelpemiddel der kandidatene skal vise matematiske dugleikar.
For å greie dette bruker Finland Linux knytt til ein lokal server på skulen der eksamen vert avholdt som eleven må kople seg til, denne blokkerer alle hjelpemiddel i denne delen. Elevane fører digitalt ifrå meny med matematiske symbol og skal vise tilstrekkelig mellomregning.
Man kan ikkje kjøre ei slik løysing over nett, det medfører eit heilt anna system enn det som er tenkt i Noreg, og det er veldig uklart for meg kvar ein tjener på det.
Elevane må skrive digitalt, dei har ikkje blyant, det går treigt, då får ein mindre tid, fordi tida går med til å skrive digitalt.
Du sei blyant, papir og bilete. Dei kan ikkje bruke mobilen til å ta bilete, ein kan ikkje bruke kamera kobla via bluetooth. Opnar ein for Bluetooth så vil andre system over Bluetooth vere vanskeleg å hindre, dette gjer det enklere å jukse. Dermed må kamera vet hardkobla til maskina.
Alle som har prøvd å ta bilete av det ein har gjort på papir med kameraet på PCen veit to ting, 1) du må holde opp arket (så alle ser, problematisk med tanke på juks) og 2) det er vanskelig å få teke eit godt bilete.
Så skulane må kjøpe inn kamera som kan koblast til USB og flyttast rundt enkelt for å ta bilete. Det er ei utgift som kjem berre fordi ein velger ei løysing der elevane skal gjere alt sjølv.
På den andre sida så kan ein då ha ein skikkeleg del uten hjelpemiddel på 2-3 timer, lukka datamaskiner, deretter får elevane eit kvarter eller liknande til å ta bilete av det dei har gjort utan tilgang på digitale hjelpemiddel, og deretter fortsette med ein del med digitale hjelpemiddel.
Det er ei mogleg løysing, ei som gjer at elevane faktisk kan vise funksjonsdrøfting der dei må bruke vekst, nullpunkt, derivasjon, asymptotebetraktninger og grenseverdier for å finne ut korleis grafen vert og deretter teikne den. Den kunnskapen, kvifor vert grafen slik den vert, vert borte når det er graftegner som gjer det. Same gjeld likningar, vektorer, trigonometri, osv.
Tilleggsopplysing. Eg ser ikkje at eg bruker omgrepet utrekning i det heile teke i det eg skreiv, eg meiner derimot at å vise stegvis kvifor noko er sant er ein viktig kunnskap og at denne vert borte med digitale hjelpemiddel. Heile matematikken er basert på dette frå axiom og oppover, i så måte ligg grunngjevinga i at matematikken eksisterer. Det held ikkje å sei GeoGebra viser det.
Vonar det er sant det de skreiv over,
at alt vert lest og at dykk ikkje har slutta å lese, sjølv om det har vore stille frå dykkar side her ei stund.
Du etterspurte kilder. Her er ei som viser konsekvensen av manglande algebraisk grunnkunnskap.
20 år med fysikkprestasjoner i fritt fall, analyse av TIMSS advanced og andre internasjonale studier
Liv Sissel Grønmo og Arne Hole
Cappelen Damm akademisk
2019
Dette vil også gjelde alle ingeniørstudier, teknologistudier og STEM studier.
Analysa viser at det er grunnleggende algebraiske ferdigheiter som er årsaka til at resultata i fysikk har stupt dei siste 20 år. Ei periode av altfor mange skrivebordsreformer og tiltru til å erstatte forståing med digitale hjelpemiddel.
CAS er ikkje algebra. Det å forstå korleis ein formel heng saman ligg i dei algebraiske manipulasjonane.
Eksempel kinetisk energi for å ta noko enkelt
E_k=1/2*mv^2 fortel oss at energi er proporsjonal med massa og med kvadratet av farta, men det krev algebraisk manipulasjonskompetanse å innsjå at det medfører at fart er omvendt proporsjonal med massa og proporsjonale med rota av energien.
På CAS ville ein skrive løs(E=1/2*m*v^2,v) og få eit svar som elevane ikkje vil forstå kvifor oppstår. Det vert magi skjult i ei svart boks.
Heildigital eksamen er problematisk ikkje fordi ein må skrive på PC men fordi forståing vert vekk i dei svarte boksene som er CAS, GeoGebra og Microsoft mathematics.
Eg trur det er berre snakk om tid før dataprogram kan lese ein tekst, omsette den til matematisk form og løyse den. Det har alt skjedd med omsetningsprogram som nærmar seg å vere like gode som ein «native speaker».
Problemet er at dette handlar om meir enn at ein kan framstå som meir språkmektig enn ein er, dersom ein ikkje forstår matematikk fell bruer ned. Det har faktisk verkelege konsekvenar.
Heildigital eksamen gjer eksamen irrelevant. Kvifor skal vi ha eksamen når kunnskapen vert utført av programmeraren. Dersom eksamen skal måle noko anna enn det vi underviser og vurderer til standpunkt, kvar verdi har eksamen då? Då vert eksamen eit unyttig og sløsande vedheng.
Det er absolutt ikkje sant at eit vedtak er endeleg, det gjeld berre til eit forhåpentligvis betre vedtak gjerast. Det er grunnleggande forvaltningspraksis (Noregs lover er endra uttallege gongar, forskrifter vert oppdatert heile tida).
Eg har høyrt og lese no fleire gongar påstandar som «det er ikkje vårt mandat», «vi kan ikkje endre på vedtak som er gjort», «det har ikkje vi fått i oppdrag å vurdere».
For å sette det på spissen:
Det er leit at det er så absolutte skott i Udir at ein ikkje kan tenke heilheit fordi vedtak som er tekne på sviktende grunnlag ikkje kan gjerast om fordi dei er tatt. Ein kunne tru Udir skreiv på stein, for rettetast ser ut til å mangle.
Hei,
Jeg er medlem av arbeidsgruppa, og det er i alle fall sant at ikke jeg har sluttet å lese her.
Jeg er enig i svært mye av det du skriver, og har skrevet et blogginnlegg om «Prosedyrenes plass i matematikken» som skal komme her i Udirbloggen. Det tar opp mye av det du også skriver om så jeg kommenterer ikke det her.
Det er godt dokumentert hvordan eksamen påvirker undervisningen så jeg synes at eksamen må støtte opp under læreplanen. Med det som et utgangspunkt synes jeg forskning gir god støtte til dine argumenter. F.eks. brukes Niss & Jensens «KOM-prosjekt» mye og var et grunnlag for LK06. Der er «symbol- og formalismekompetanse» en viktig del av matematisk kompetanse. En annen modell, Kilpatrics trådmodell, inneholder «Procedural fluency» som en av 5 komponenter av det å forstå matematikk.
Følg med i bloggen her 🙂
Jeg vil først gi ros til Utdanningsdirektoratet for prosessen som nå er satt i gang, med arbeidsgruppe, åpenhet og mulighet for innspill. Dette lover godt.
Da forslaget til nye rammer for eksamen i matematikk kom høsten 2020, var jeg overrasket og skeptisk til følgende:
1. At elevene skulle ha alle hjelpemidler også på oppgaver av type 1.
2. At hele besvarelsen måtte leveres digitalt.
3. At det var to oppgaver av type 3.
La meg ta det siste punktet først. Som elev i 3FY i 98/99 var jeg med i det første kullet som skulle eksponeres for en ny type oppgave på fysikkeksamen, nemlig en åpen og utforskende oppgave med anbefalt tidsbruk på én time. Fra et elevperspektiv kan jeg si følgende om det å besvare slike oppgaver: det er svært krevende. Da jeg kom tilbake til vgs. som lærer i 2006, var det blitt slutt på denne oppgavetypen på eksamen. Derfor innså jeg høsten 2020 at to oppgaver av type 3 er en for mye. Oppgavetypen samsvarer svært godt med læreplanene, men man oppnår etter mitt syn alt det man ønsker å oppnå med kun én oppgave av type 3 per eksamen. Det ser ut til at man allerede har innsett dette, slik at punkt 3 ovenfor nå er løst.
Punkt nummer 2 ovenfor kan løses ved at man fortsatt tillater at deler av besvarelsen kan leveres håndskrevet på papir, og at skolene fortsetter jobben med å scanne papirbesvarelser. Jeg ser at Udir etter protester åpnet for at kandidatene kan ta bilde med webcacm av besvarelsen, men dette er tidkrevende, og bildekvaliteten kan bli dårlig og teksten lite lesbar. Det vil være uproblematisk for sensorer å forholde seg til inntil to pdf-filer per kandidat, en fil for alt som er håndskrevet, og en fil for alt som er besvart digitalt (oppgaver av type 2 og type 3). Jeg forstår at dette ikke passer inn i drømmen om et alt-i-ett-system slik man oppnår for blant annet språkfagene, men det gjelder å være pragmatisk. Det å gi elevene valget mellom å levere alt digitalt og å skrive noe for hånd, er en fleksibilitet som vil gjøre skolehverdagen og livet bedre for både elever som ønsker å komme inn på medisinstudiet og for elever som ønsker en ståkarakter.
Oppgaver av type 1 mener jeg definitivt bør være uten (alle) hjelpemidler dersom det skal ha noen hensikt å ha med slike oppgaver på eksamen. Det Udir gjør med eksamen i engelsk og fremmedspråk med lyttesekvenser med tilhørende flervalgsoppgaver, og tekster med innfylling av ord (valgt fra nedtrekksmeny) ser fornuftig ut. Man tester bredere og kommer trolig til å forbedre reliabiliteten. For matematikk går forslaget til endringer i motsatt retning. En måte å unngå dette på, er at oppgaver av type 1 må ha ingen eller et begrenset utvalg av hjelpemidler (formelsamling og eventuelt en enkel kalkulator).
Hvis vi ser på del 1 av tidligere eksamenssett fra grunnskolen under LK06, er det tre typer oppgaver, henholdsvis flervalg, rute der man kun skriver svaret, og svarfelt der man også må vise utregning. De to førstnevnte tilsvarer type 1 i det nye systemet for eksamensgjennomføring. Det er dermed ikke en stor overgang for grunnskolen at del 1 av eksamen besvares digitalt i det nye systemet som oppgaver av type 1. For videregående skole vil en slik løsning samsvare godt med dagens del 1 av eksamen i flere realfag, deriblant fysikk 2, som starter med 24 flervalgsoppgaver. Vi bør merke oss at formler i både fysikk og matematikk er vedlagt, slik at elevene kan nyttiggjøre seg disse under del 1 av eksamen. En lignende løsning kan være fornuftig på del 1 i matematikk.
Min anbefaling til arbeidsgruppen er å lage og prøve ut oppgaver av type 1 som er tilpasset et rammeverk der elevene ikke har alle hjelpemidler.
Hvis elevene bruker tre minutter i gjennomsnitt per oppgave, passer det med 20 oppgaver hvis anbefalt tidsbruk på del 1 er en time. (Sammenlign det med kun seks oppgaver av type 1 gitt ved eksamen i 1T våren 2020.) Arbeidsgruppen kan også vurdere om åpne svarfelt kan inkluderes i en digital del 1, altså den type svar som må vurderes av sensorer. Det kan for eksempel være at man skal vurdere en løsning og forklare hvordan noen har tenkt. Jeg har hatt fellesfagene i matematikk (10. trinn, 1P, 1T, 2P, 1P-Y, 1T-Y og 2P-Y) i tankene når jeg har utarbeidet forslaget mitt. Om samme løsning kan fungere for programfag, eller om man må ha to ulike ordninger, har jeg ikke hatt tid til å vurdere.
Jeg vil foreslå et system som er slik at når man har levert del 1 digitalt, så er det irreversibelt. Da kan eleven ta frem hjelpemidler med en gang hun er ferdig med del 1, i stedet for å forholde seg til en bestemt tidsramme som alle må følge. Slik gjør vi det i praksis under todelte prøver i matematikk gjennom skoleåret. Elevene setter veldig pris på denne fleksibiliteten. Litt mer å passe på for eksamensvaktene, men overkommelig.
Hos Udir er man usikker på om det finnes (relevant) kompetanse som ikke kan testes dersom elever alltid har alle hjelpemidler tilgjengelig. Vi bør imidlertid skille mellom hva som er teoretisk mulig og hva som vil fungere best i praksis. Skriftlig eksamen i matematikk er svært styrende for undervisningen i faget. Både lærere og de som utarbeider læremidler er opptatt av å forberede elevene slik at de kan prestere godt på en eventuell skriftlig eksamen. I tillegg til å måle kompetansen til elever, er skriftlig eksamen med på å utvikle og definere innholdet i faget. Det er derfor grunn til å stille seg følgende spørsmål:
«Hvordan bør eksamen være slik at den påvirker undervisningen og dermed elevenes læring på en best mulig måte, og samtidig oppfattes som rettferdig?»
Jeg har forslag til tre mål som kan være nyttige i utarbeidelsen av eksamen i matematikk:
1. God reliabilitet. (To ulike eksamenssett for samme elev skal i teorien gi så lik karakter som mulig, og to ulike sensorer skal gi så lik karakter som mulig.)
2. God validitet. (Det er elevenes kompetanse i fagets læreplan som skal måles og vurderes. Elevene må kunne vise sin kompetanse uansett hvilket karakternivå de ligger på.)
3. Fornøyde lærere og elever.
Stor variasjon i eksamensresultater på nasjonalt nivå fra år til år indikerer dårlig reliabilitet. Andelen elever som fikk 1 på skriftlig eksamen i 1P var 8,5 % i 2010 (snittkarakter 3,4), mens hele 34,6 % fikk 1 i 2012 (snittkarakter 2,1). Det var nok mye gråt, fortvilelse og opplevelse av knuste drømmer blant de omkring tusen uheldig utvalgte i 2012. Elevenes psykiske helse er noe man etter min mening bør tenke på når man utarbeider eksamen.
God validitet handler om at man måler det man faktisk har til hensikt å måle. Det er nyttig å kunne bruke Google Translate, men det er enklere å måle elevenes språkkompetanse på en effektiv måte hvis man ikke tillater bruk av oversettingsverktøy. Hvis en oppgave som har til hensikt å måle matematisk forståelse kan løses kun ved hjelp av digital prosedyrekompetanse, blir validiteten dårlig. Dette kan fort bli tilfelle i oppgaver av type 1 dersom man tillater bruk av alle hjelpemidler. En fordel med en del uten hjelpemidler, er at man kan være sikker på at det er elevens kunnskap som testes. Dermed kan man også gi noen oppgaver som er enkle. Det er grunn til å frykte at det er de svakeste elevene som taper mest hvis eksamen ikke har en del uten hjelpemidler. Det er en risiko for at flere faller fra med alle hjelpemidler på hele eksamen. Dette er noe å tenke på i en tid med et sterkt politisk ønske om at flest mulig skal fullføre videregående skole.
Min erfaring er at mange elever liker godt å jobbe med matematikk uten digitale verktøy. Det er morsomt å få til noe helt på egen hånd. Det gir også ro og fokus å tidvis jobbe bare med lærebok, penn og papir. Det blir færre distraksjoner. Forskning antyder at ungdom er dårligere til å holde fokus og konsentrere seg sammenlignet med foregående generasjoner. Hjernen (og øynene) til elevene kan ha godt av pauser fra digitale skjermer. Arbeidsro i klasserommet er også noe man bør tenke på. I tillegg bør man huske på at matematikk ikke bare har en nytteverdi. Det er også spill, lek og kunst. Hvor morsomt er det med quiz hvis man kan bruke Google? Jeg kan bruke CAS til å finne ut at i^i = e^(-pi/2), men det gir meg mye mer å regne ut dette for hånd. Er det ikke fascinerende at svaret blir et reelt tall? Om slik regning er nyttig eller ikke bryr jeg meg ikke om, så lenge jeg har det gøy. Hvis man mestrer og har det gøy, får man mer dopamin, en deilig og ufarlig rus som hjelper hjernen med å lære. Oppgaver av type 1 uten hjelpemidler er en effektiv måte for elever å oppleve mestring på, noe jeg tror vil medføre økt motivasjon og økt læring, også for svake elever som lett overbelaster arbeidsminnet sitt når de jobber med mer sammensatte og tekstrike oppgaver.
Noen vil kanskje hevde at poenget med fagfornyelsen er å fokusere på forståelse, kritisk tenkning, problemløsning og kreativitet, og at faktakunnskaper er mindre viktig i vår tid. Man trenger imidlertid en grunnmur med kunnskaper for å være i stand til å forstå og tenke kritisk. Kreativitet innebærer å koble sammen ulike faktakunnskaper man har på en ny måte.
Jeg er opptatt av forståelse i matematikk, og det Skemp beskriver som relasjonell forståelse i motsetning til instrumentell forståelse. Jeg er fan av Polya og har lest boken «How to solve it». Jeg har også lest «Gift» av Alexander Kielland, og merket meg at elever fortsatt løser samme type likninger uten hjelpemidler i dag (under LK06) som den likningen lille Marius ikke klarte å løse på tavla. Jeg har lenge tenkt at det er behov for fornyelse i skolematematikken. Oppgaver i del 1 av eksamen har i for stor grad handlet om instrumentelle ferdigheter. Vi har brukt for stor del av undervisningstiden på å jobbe med det som kalkulatorer og datamaskiner er gode på. Conrad Wolfram snakker om fire trinn:
1. Definere spørsmål
2. Abstrahere og omforme til matematisk form
3. Gjøre beregninger
4. Tolke resultatene
Siden datamaskiner er ekstremt gode og effektive til å gjøre trinn 3, er det uhensiktsmessig at elevene skal bruke mesteparten av matematikktimene til å trene på å gjøre trinn 3 for hånd. Læreplanene fra 2020 og ønsker om å endre eksamen tyder på at man har tenkt på nettopp dette.
Selvsagt ønsker vi ikke en puggeskole der elever må pugge byer i Belgia. Selvsagt er det viktig med twentyfirst century skills. Problemet er at hvis man blir for ivrig i denne tankegangen, kommer man over i motsatt grøftekant. Vi må ta hensyn til hvordan hjernen fungerer, og menneskehjernen er den samme nå som for hundre år siden. Her er to viktige bøker som er blitt skrevet om læring av forskere i kognitiv psykologi på 2000-tallet, og som har brakt meg selv tilbake til «den gyldne middelvei» når det gjelder syn på læring:
1. Make it stick (flere forfattere)
2. Why don´t students like school (Daniel Willingham)
For en enkel oppsummering av sistnevnte, anbefaler jeg å se denne:
https://www.youtube.com/watch?v=5qY8Lp_g7Vc
Spesielt interesserte kan finne artikler og videoer her:
http://www.danielwillingham.com/
Jeg har lest mye teori innenfor pedagogisk psykologi. Likevel er jeg ikke i tvil om at det er den praktiske erfaringen jeg har som lærer som er viktigst. Vi lærere får hele tiden feedback på hva som fungerer når det gjelder undervisning og læring. Det kan være lurt å høre på de som har skoen på og vet hvor den trykker. Hvis et flertall av lærere sier at alle hjelpemidler på hele eksamen ikke kommer til å fungere, ja da er det en grunn til det. Jeg spurte han som har jobbet lengst som lærebokforfatter i matematikk i Norge, om alle hjelpemidler for hele eksamen har vært prøvd ut før. Han svarte følgende:
«På 1970-tallet hadde Reformgymnasene forsøk med alle tillatte hjelpemidler. Dette var mislykket, det viste seg å ramme alle typer elever. Elevene trodde at det ikke var så viktig «å kunne noe», hjelpemidlene var jo tilgjengelig! Men det viste seg at det tok for lang tid å lete. Ordningen ble stoppet etter ett år.»
Jeg ønsker arbeidsgruppen lykke til med den viktige jobben som skal gjøres.
Supplerende kommentar: Boktips
Jeg anbefaler arbeidsgruppen å lese i boken «Prioritering og progresjon i skolematematikken. En nøkkel til å lykkes i realfag. Analyser av TIMMS Advanced og andre internasjonale studier.» (Liv Sissel Grønmo m. flere, 2017). Kapittel 4 (Et matematikkdidaktisk perspektiv) tror jeg vil være tankevekkende når det gjelder vurderingen av om man trenger todelt eksamen.) Boken inneholder mange eksempler på oppgaver gitt i TIMMS advanced i 2015 (for vg3-elever med R2), og jeg tror de kan være til nyttig inspirasjon for arbeidsgruppen. Disse oppgavene passer svært godt som eksempler på type1-oppgaver i ny modell. De er av tre typer: flervalg, skriv kun svaret i svarboks, og vis fremgangsmåte. Mange av oppgavene kan løses med hoderegning hvis man har god kompetanse, og de fleste kan løses med noen korte utregninger uten kalkulator. Merk at oppgavesettet hadde vedlagt formelsamling som elevene kunne bruke.
Hvis man går for en løsning av oppgaver av type 1 som gis digitalt, men med begrenset adgang til hjelpemidler, kan formelsamling ligge i en egen informasjonsfane i systemet (det er én oppgave per fane/ark i systemet).
Jeg vil med det samme minne om at Abelkonkurransen ligner på oppgaver av type 1 (hhv. flervalg i runde 1 og skrive kun svar i runde 2). Dette er en nasjonal konkurranse i problemløsning som nå gjennomføres digitalt, men der det fortsatt ikke er tillatt med hjelpemidler. I ungdomsskolen har man en tilsvarende konkurranse i problemløsning (Kengurukonkurransen), der det heller ikke er tillatt med hjelpemidler.
Tidligere innspill i denne tråden inneholder svært mange gode synspunkter. Det argumenteres godt med tanke på faglige, pedagogiske og praktiske utfordringer for den nye eksamensordningen. Som matematikklærer for både studiespesialisering og yrkesfag på videregående skole, har jeg også mange tanker om hvordan eksamen bør se ut, og mange av tankene adresseres i tidligere innlegg her.
Til syvende og sist koker det likevel ned til om den nye eksamensordningen har forankring i relevante fagmiljøer. Det er tross alt disse miljøene som innehar desidert mest kompetanse knyttet til de aller fleste aspekter ved fagene, både mtp faget i seg selv og fagets rolle i samfunnet. Hvilke fagmiljøer som er relevante vil naturligvis variere, men et mulig utgangspunkt kan jo være å se på avsendere og mottakere av elever/studenter. Her er et forslag:
Eksempel 1: Man kan definere at relevante fagmiljøer for programfagene på videregående skole er:
– Fagseksjonene på videregående skole som underviser i de gitte programfagene (avsender).
– Fagseksjonene på høyere utdanningsseksjoner hvor de gitte programfagene er et søknadskrav (mottaker).
Eksempel 2: Man kan definere at relevante fagmiljøer for matematikk for elektrofag på videregående skole er:
– Fagseksjonene på videregående skole for matematikk og relevante yrkesfag (avsender).
– Bedrifter og andre faginstitusjoner hvor elevene med stor sannsynlighet vil begynne sitt arbeidsliv (mottaker).
Basert på dette kan Udir stille seg følgende spørsmål:
Vil et bredt utvalg av relevante fagmiljøer vurdere forslaget til ny eksamensordning som den beste og mest fremtidsrettede ordningen?
Hvis svaret på dette er ja, har man sannsynligvis landet på en god eksamensordning.
Generelt sett på vidaregåande:
– for lite tid til å gjennomføra oppgåvene. Lagt opp til at elevane veit med ein gong korleis oppgåvene skal løysast, og det blir ikkje tid til utforsking.
– praktisk matematikk: nokon av oppgåvene er på eit nivå som er langt i frå det elevane har møtt i timen. Spesielt i 2P er det eit alt for stort pensum i forhold til tida som er tilgjengeleg, og det gjer at det blir for lite tid gjennom året til å jobba med større, meir innfløkte oppgåver. Oppgåvene krev at du skal ha ganske mykje kunnskap i Geogebra, Python og Excel. Umogleg å få tid til å gjennomføre dette på ein god måte i løpet av skuleåret.
Hei. Hvorfor innføres ny læreplan i matematikk for 10.klasse midt i et skoleår og ikke i begynnelsen?
Og hva er vurderingen bak den økte bruk av «vis forståelse» (del 3) i forhold til den enkelte elevs evne til å forstå/lese norsk, når det er matematikk det er snakk om?
Mykje godt er allereie skrive her, men eg vil ta opp att det viktige poenget at enkelte kompetansemål best let seg testa utan at elevane har tilgang på hjelpemiddel. Lat oss ta R1 som døme,:
– (…) bestemme grenseverdier
– bestemme den deriverte i et punkt geometrisk (…)
– (…) regneregler for potenser og logaritmer
– (…) løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
– (…) derivere ulike funksjoner
– (…) regneregler for vektorer i planet
For å få den kompetansen som her er etterspurt, må både lærar og elevar leggja ned eit monaleg stykkje arbeid.
Med alle hjelpemiddel tillatne blir oppgåvene gjerne slik at elevar som har oppnådd slik kompetanse, ikkje får utteljing for han. Kompetansemåla der sitata inngår, har må vita også krav om at elevane skal kunne utforska, forstå og bruka ulike strategiar. Og desse vil naturleg nok bli dei mest sentrale ingrediensane i oppgåvene når alle hjelpemiddel er tillatne.
Det er mange meiningar om kva som er relevant kompetanse i matematikk, men for oss som jobbar i skulen står éin ting fast: Kompetanse som læreplanen etterspør er per definisjon relevant, og kan ikkje avfeiast som irrelevant puggestoff som ikkje høyrer heime i matematikkopplæringa anno 2022. Skulle UDIR meina det, får de heller laga ein revidert læreplan.
Eg meiner det er ønskeleg med ei eksamensform som også honorer elevar som klarar å læra seg ein del «teknikkar», men som slit med abstraksjon, generalisering og opne problemstillingar. Ein del utan hjelpemiddel må difor gjerne vera kortvarig og standardisert. Med utgangspunkt i kompetansemåla eg siterte frå ovanfor, kunne ein slik delprøve sett slik ut i R1:
1. Bestem grenseverdien …
2. Bruk figuren til å bestemme f'(2).
3. Skriv logaritmeuttrykket … så enkelt som mulig.
4. Løs likningene …
5. Deriver funksjonene …
6. Gitt u-vektor og v-vektor. Rekn ut …
Eksamen må gjerne vera heildigital, men i så fall må det på plass ei løysing som gjer det mogleg at ein del av prøven er utan hjelpemiddel sjølv om elevane sit framom PC-en.
Takk for innspill! Akkurat i disse dager har vi sett på kompetansemålene i R1 og vi har laget oppgaver for nettopp å avsløre i hvilken grad vi trenger en del uten hjelpemidler. Oppgavene skal vi få pilotert på elever både med og uten hjelpemidler. Vi har tatt tak i noen av de samme kompetansemålene som du nevner og jeg synes det blir spennende å se hvilken kompetanse elevene viser når de løser oppgavene. Jeg er enig med deg i at f.eks. «regneregler» er svært vanskelig eller umulig å måle dersom programvare er tilgjengelig.
Eg frykter at det er meir enn reknereglar som ein ikkje for testa med heildigital eksamen. Som sagt i eit innlegg over, ein må skilje mellom 1p/2p og ungdomskulen på den eine sida, og 1T, R og S på den andre, sidan dei sistenemnte ikkje berre skal lære seg kvardagsmatematikk, men óg forståing.
I matematikken møter elevane systemdynamikkforståing i form av å sjå korleis endring av eit system påverkar det. Når ein løyser likningar, ulikskapar, drøftar funksjonar ved derivasjonsreglar, osb så lærer ein om kva manipulasjonar som gir ekvivalente system, og kva vilkår som må vere oppfylt. Det ultimate (og som er tragisk ute av pensum) er differensiallikningar.
Vidare lærer ein abstraksjon i form av at til dømes drøfting av ein funksjon ved å bruke derivasjon avdekker eigenskapar og utviklinga til ein samanheng som ikkje er eksplisitt vist. Når vi teiknar ein graf etter funksjonsdrøfting har vi kome fram til ein eksplisitt grafisk samanheng via ein abstrakt algebraisk samanheng, dette er viktig førebuing til den abstraksjonen dei må møte på universitetet. Ein må kunne sjå det føre seg før ein ser det.
Læreplanen legg opp til utforsking av ulike måtar å løyse problemstillingar, denne delen av læreplanen vert borte når ein einsidig skal bruke digitale verktøy. Det er ingen forskjell på å løyse ei førstegradslikning og ei logaritmisk likning når ein brukar digitale verktøy. Det er det same.
Det er når elevane lærer fleire måtar å gjere ting på, der dei må ha kontroll på kvar enkelt del, at dei ser korleis ting heng saman, eg fryktar at når dette vert redusert til å taste inn på eit dataprogram, så mister elevane forståing av kva som skjer, det vert magi. Eg trur at elevane si dårleg forståing av forskjellen på addisjon og multiplikasjon til dels skuldast innføring av lommereknar for tretti år sidan, det vart to tastar, dei måtte ikkje lengre ha ei forståing av forskjellen.
Ein del argumentere for at fokuset bør vere på omsetting til matematisk form framfor matetekniske utrekningar. Eg fryktar at dette er kortsiktig, eg trur ikkje det tek lang tid før vi har programvare som kan lese ein tekst, omskrive den til matematisk form, og løyse det. Vi har den utfordringa no med omsetningsprogram for nynorsk. Ein skriv på bokmål, omset og det er nær umogleg å sjå forskjell på om det er eigeskrive eller omsett.
Eg har freista å finne og lage oppgåver som kan vise matematisk kunnskap til tross for tilgjenge på digitale hjelpemiddel. Det har synt seg vanskeleg, og vert veldig fort at det er eit triks som må til, før ein finn ein samanheng som lett kan løysast digitalt.
Til dømes å finne den eksakte verdien av 1+7/(1+7/(1+7/(1+7/(1+7/….
Denne er fin, ein må sjå mønsteret (det gjer alle), men så må ein finne ein måte å utnytt samanhengen, det krev eit triks. Om du kan trikset er oppgåva enkel, det vert eit andregraduttrykk (som diverre vert løyst digitalt utan kunnskap) og svaret vert (1+sqrt(29))/2. Om ein ikkje oppdagar trikset, så greier ein ikkje å løyse den. Eg har tatt den med ein del elevar, dei finn ikkje trikset, og syns det er lureri når eg viser det. Dei har rett, oppgåva testar ikkje noko læreplanmål i 1T, R eller S, den testar om du greier å tenke ut korleis du utnyttar repetisjonen i oppgåva.
Eg har også tenkt på uttrykk som 1/(sqrt(1)+sqrt(2))+1/(sqrt(2)+sqrt(3))+….+1/(sqrt(1023)+sqrt(1024))
Denne vert for tung å ta digital, den krev igjen eit triks for å finne ut at svaret vert 31. Dersom ein ikkje ser trikset, så…
På eksempeleksamen som vart gitt for 1t i fjor, så hadde ein blanda inn rekkjer, eg lærte derfor 1T elevane mine r2 pensum. Det er uheldig når «kreative oppgåver» vert oppgåver du skal lære seinare, men som du får no fordi vi skal «ta rotta på deg» (slik opplev elevane det). Vidare var det oppgåver som var utflytande, umogleg å vite når du hadde svart tilstrekkeleg på dei. I tillegg hadde dei oppgåvene ein tendens til å vere gjentakande, ein skulle gjere det same om og om igjen. Det er ganske meiningslaus bruk av tid, og smalnar inn kva ein kan avdekke av kunnskap hos elevane. Dette er eit brud på at elevane skal få vise breidde i fagkunna si.
Regresjonsoppgåver har vore ei krise. Det er veldig tydleg at det er manglande kunnskap om når regresjonsanalyse er gyldig. På 2p eksempeloppgåva var det ei oppgåve om omsetninga til ein nettbutikk. Ein skulle finne den eksponentielle funksjonen som passar. Her er det fleire problem: 1) ein slik modell vil knappast gjelde utanfor området som er oppgitt, eg vonar ho ikkje går til banken med dette som god fisk eller at aksjeeigarar går inn med investering utifrå at dei forventar vidare lik vekst, 2) dette er ikkje ein kontinuerleg samanheng, det er meiningslaust å til dømes spørje kva omsetninga var når x=5,5. c) oppgåva er fullstendig krise, ein kvar oppegåande elev ville påpeike at ein ikkje kan forutsette at utviklinga vil fortsette som den har gjort, dermed vert usikkerheita i omsetninga i 2026 enorm.
Dette er ikkje første gong, i 1T eksamen vår 2021 (del 2 oppgåve 1) så har ein brukt regresjonsanalyse på cruiseanløp for deretter å bruke derivasjon for å finne den momentane veksten. Cruiseanløp er ikkje ein kontinuerleg funksjon, ein kan ikkje bruke derivasjon her, og ein bør ikkje framstille det som ein funksjon. Ein bør lage eit stolpediagram og så kan ein finne endringa mellom to år, eventuelt gjennomsnittleg endring i ei periode.
Til sist så vert regresjon brukt på talfølgjer, eg treng vel ikkje å påpeike kor ille dette er? Det er krise når elevane vert lurt til å bruke verktøy dei ikkje bør bruke, dette får konsekvensar seinare, eg har ikkje sett meir dårleg bruk av statistikk og regresjonsanalyse enn etter 2006 (då regresjon vart utbreidd, særleg i 2p). I forsking og samfunnsdebatt er det utruleg mykje håplaus bruk av desse verktøya.
Eg veit ikkje korleis eg skal forklare uroa eg har for kva som skjer med matematikken gitt heildigital eksamen der matematikken vert borte, om ein ikkje ser det, eg trur dei fleste med forståing for matematikk forstår kva eg meiner, det er omtrent som å forklare kvifor vi treng luft for å puste. Eg frykter at det vi gjer no, er å innføre ei reform med berre ein konsekvens, elevane kan mindre, forstår mindre og kjenner seg endå meir framandgjort i forhold til matematikk.
Matematikk er ikkje primært der ein lærer å løyse problem, målet er ikkje svaret, men det vert det når vi skal bruke digitale verktøy til å gjere jobben for oss. Matematikk handlar om å tenke, om å strukturere, om å utforske og finne samanhengar, det vert borte når store delar vert gjort i ei sort boks som eleven ikkje forstår kva skjer i. Vi redusere elevane våre til operatørar av datamaskiner, ikkje utviklarar og nyskaparar.
Det er det som går tapt når vi gjer eksamen heildigital, vi flyttar fokuset frå menneske store fordel – evna til å tenke og sjå samanhengar på tvers av fagdisiplinar og team – til å vere eit vedheng for datamaskina. Eg frykter at dette er ei fallitterklæring og at vi ikkje kjem til å ha eit svar på kvifor skal vi lære dette? Ingen treng å kunne å rekne ut lønna si, når gjorde du det sist? Ingen treng å kunne rekne på forbrukslån? Når gjorde du det sist? Ein kan stole på andre, la dei gjere det for deg, det går så bra så, og dersom dei lurer deg, vel, du slapp å streve for å lære det i utgangspunktet.
Dei nye eksamensoppgåvene har også vore drepande, fryktar eg, for motivasjonen til elevane. Elevar med låg kompetanse veit ikkje kvar dei skal byrje, så dei gir opp og leverer blankt, elevane med høg kompetanse synast oppgåvene er teite og utflytande, dei vert frustrert over kjensla av at dei aldri har svart tilstrekkeleg.
Eg frykter at frustrasjonen over at det krev så stor innsats for å oppnå så lite vil gjere at ein stadig større del av elevane rett og slett sluttar å interesse seg for matematikk, det krev for mykje og gir for lite. Det er ikkje verdt det, og dermed går matematikken vegen til latin.
Vi mista enormt mykje når latin, retorikk og logikk gjekk ut av skulen, det tragiske er at dei aller fleste ikkje veit det. Det var fag som førte til strukturert tenking. Matematikk er eit av få fag som framleis legg stor vekt på strukturert tenking, men den strukturerte tenkinga ligg i korleis ein gjer matematikk, utan den, skil tenkinga seg ikkje frå andre fag.
Eg ville heller ha ein eksamen med alle ikkje-digitale hjelpemiddel tilgjengeleg heile tida, enn ein eksamen med digitale hjelpemiddel heile tida. Eg er ikkje for puggeskule (om enn eg meinar at det du ikkje har i hovudet, det kjem du ikkje på når du treng det), elevane kan godt slå opp ting, dei kan godt ha ting dei kan sjå etter, det er langt betre enn at dei gjer ting utan å vite kva som skjer. Eg vil ikkje ha mattemagi, eg vil ha matteforståing.
Matematikkseksjonen ved Voss gymnas har diskutert eksamen og har følgjande innspel:
Vi har sett på eksamen i seg sjølv, og har ikkje diskutert om eksamen er den rette vurderingsforma då vi meiner det tilhøyrer ein anna diskusjon.
Vi meiner at det bør vera ein 2-delt eksamen, gjerne 2t + 3t for alle.
Kvifor del 1? Elevane bør ha ein viss basiskunnskap i rekneferdigheiter og metodar i matematikkfaget som ein kan få vist i del 1. Dette er ikkje like lett å få vist fram ved bruk av digitale hjelpemiddel. Viss elevane ikkje har basiskunnskapar, blir det og tungt å forstå andre oppgåver.
For å unngå at det blir for travelt, meiner vi det bør vera 2 timar på del 1. Ein klokketime kan vera eit stressmoment for ein del elevar. Vi ser og at hjelpemiddel kan vera hemmande. Elevane brukar mykje tid på å leita i boka i staden for at dei konsentrerer seg om sjølve oppgåvene. Kanskje bør det og vera oppgåver med meir abstrakt tilnærming og problemløysing på del 1? Oppgåver der elevane skal finna mønster og samanhengar. Då kan dei fordjupa seg i oppgåvene i staden for å leita i boka etter noko som liknar.
I del 2 har oppgåvene hatt ein tendens til å bli litt for vanskelege fordi dei har tilgang på hjelpemiddel. Det blir gjerne slik at dei som er flinkast til å tolka litt «ullne» tekstar, får eit fortrinn. Det bør og leggjast vekt på at resten av ei oppgåve ikkje bør vera avhengig av at ein får til a)-oppgåva. I P-matematikk bør problemløysing knytast til noko reelt slik at det ikkje blir for teoretisk. Vi meiner og at problemløysingsoppgåva som har vore på 1P og 1T-eksamen, har fått noko stor vekting.
For sensorar bør det utarbeidast eit enkelt løysingsforslag frå Udir. Særleg gjeld dette problemløysingsoppgåva. Det bør gjevast ein peikepinn på kva som skal vektleggjast.
I læreplanen for R1 og R2 står det flere ganger nevnt i kjerneelementene ar fremgangsmåten er viktig. Kjerneelementet Utforsking og problemløsning sier at «Utforsking handler om å legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene» og fortsetter også videre. I Resonnering og argumentasjon står det at «Argumentasjon i matematikk R handler om å begrunne og bevise gyldigheten til framgangsmåter, resonnementer og løsninger». Kjerneelementet Abstraksjon og generalisering om bruk av formelt matematisk språk og – resonnementer. Formelt språk og notasjon er tidkrevende i digitale verktøy, det vet alle som har lagd løsningsforslag i Word eller med Latex. En del med penn og papir uten hjelpemidler (kunne brukt enkel kalkulator) tester både matematisk fremgangsmåte, resonnement, språk og notasjon på en mer effektiv måte enn med digitale verktøy.
Om man ser på Digitale ferdigheter skal elevene kunne «bruke digitale verktøy til å utforske, formulere og løse matematiske problemer». Problemet her ligger i naturen til de digitale hjelpemidlene som brukes, særlig Geogebra. Det meste elevene trenger, er fiks ferdig tilgjengelig med en knapp eller en kommando. Elevene bruker i liten grad Geogebra til å formulere matematiske problemer, det gjør de utenom (eks. bestemmer likning som må løses i CAS, forstå at det er ekstremalpunktknappen man bør velge fra menyen) og så brukes Geogebra til selve løsningsprosessen. Eleven trenger derfor ikke kunne forklare den matematiske fremgangsmåten for å finne løsningen på problemet, og dermed tester man heller ikke i hvilken grad eleven har oppnådd matematisk kompetanse, men derimot i hvor stor grad eleven klarer å finne frem i et dataprogram.
Geogebra er et lunefullt program i mange tilfeller, og det tar tid å eksponere elevene for «alt som kan gå galt». Særlig i R2 har jeg merket meg at programmet ikke er godt nok for det matematiske nivået vi er på. En vei rundt dette er selvsagt at alle skolene investerer i lisensiert programvare som MathCad eller Maple i stedet for et gratis programvare. Denne kostnaden kommer ikke skolene til å ta, og elever som tar faget som privatist kan heller ikke forulempes med denne utgiften. Geogebra er ikke et program som brukes i høyere utdanning (så vidt meg bekjent), og derfor er ikke tiden man bruker på å lære seg dette programmet vel anvendt tid. Å bruke tid på å lære elevene programvare tar tid vekk fra å lære elevene matematikk.
Derimot støtter jeg innføring av programmering i fagene, og jeg gleder meg til elevene kommer bedre rustet med grunnkompetanse fra ungdomsskolen. Men det må anerkjennes at å skrive kode er tidkrevende, og dermed kan man ikke se bort fra Geogebra som verktøy for elevene på en skriftlig eksamen. Der er urealistisk at elevene skal skrive sine egne program for alle mulige oppgaver, selv om det er her man virkelig ser at elevene «formulerer matematiske problemer».
Om man går direkte på kompetansemålene, er det også mange eksempler på ferdigheter elevene skal ha, som er meningsløse å teste med digitale hjelpemidler. Har elevene tilgang til f.eks. CAS trenger ikke elevene kunne forstå eller forklare fremgangsmåten for dette.
R1: bestemme grenseverdier, bestemme den deriverte algebraisk, regneregler for potenser og logaritmer, løse eksponentiallikninger og logaritmelikninger, regneregler for vektorer i planet
R2: regneregler for vektorer i rommet, trigonometrisk identiteter, bevis, egenskaper ved rekker
1T: bevis, løse likninger/likningssett/ulikheter, polynomdivisjon, bruke trigonometri
1P: regning med prosent og vekstfaktor, regne med rotuttrykk/potenser/standardform, sammensatte måleenheter
S1: regneregler for potenser og logaritmer, løse eksponentiallikninger og potenselikninger
Det er altså slik at det som før lå inn under hovedområdet Algebra fortsatt er tilstede i alle fagene, og det er særlig dette som lar seg teste dårlig med bruk av digitale hjelpemidler. Her kommer man klart lengst med kun penn og papir.
Jeg savner også, som flere, et godt faglig argument for en heldigital eksamen. Til nå har jeg kun opplevd at lærere vil tilbake til «gammel ordning» med penn og papir, på bakgrunn av at man ser at elevenes matematikkferdigheter er bedre her. All erfaringen fra klasserommene opp gjennom mange år (og læreplanfornyelser) må også anerkjennes, ikke bare forskning. Dog kan jeg ikke huske å ha sett forskning som viser at å bare bruke digitale hjelpemidler gir bedre matematikkforståelse, -fedigheter og -kompetanse. Sitter Udir på dette er det fint om det kan deles. Ikke glem at de fleste lærere brenner for faget, og ønsker at alle skal oppleve gledene med å meste matematikk.
Jeg syns fordelingen med og uten hjelpemidler slik den har vært i LK06 har vært riktig.
Hei!
Jeg lurer på om dere vet når eksamensordningen for våren 2023 blir gjort kjent for elever og lærere? Vi er i gang med planleggingen av neste skoleår allerede, og valg av eksamensløsning blir selvfølgelig viktig for hvordan vi legger opp og undervisningen og vurderingssituasjoner.
Ja, nå er det bare noen dager igjen til skolestart og ingen lærer/elev vet hvordan den nye eksamensordningen blir. UDIR har hatt meeget god tid til å vurdere aktuelle alternativer, og det haster nå virkelig for det første årskullet som skal ha eksamen på tre år. Lærere og elever må få tid til å trene på dette og derved fjerne et STORT usikkerhetsmoment før eksamen.
Hei igjen! Jeg lurer på når eksamensveiledningen for REA3058 Matematikk R2 er klar, og om det i denne veiledningen vil komme tydelig frem hvilke formler man forventer at elevene bør kunne på del 1 av eksamen?