Linda G. Opheim er universitetslektor ved Universitetet i Agder. Hun sitter i Utdanningsdirektoratets arbeidsgruppe som skal gi råd om endringer i matematikkeksamen. Medlemmene av gruppen deler sine perspektiver på matematikkeksamen utover våren. Innlegget nedenfor gir uttrykk for skribentens egne meninger om matematikkeksamen.
Kanskje kan en eksamen med tilgang til alle hjelpemidler være med og dra oss i den retningen vi alle ønsker?
Mitt navn er Linda G. Opheim og jeg jobber ved Universitetet i Agder der jeg forsker og underviser i matematikkdidaktikk. Jeg er utdannet allmennlærer og har jobbet noen år som lærer i ungdomsskolen før jeg gikk videre og tok en mastergrad i matematikkdidaktikk. Jeg har nå i flere år jobbet med å undervise ved lærerutdanningen ved UiA, og har i tillegg hatt gleden av å samarbeide tett med skoler i ulike utviklingsprosjekter. Samtidig har jeg forsket på læring og undervisning av matematikk, og skal denne våren disputere for doktorgraden med tittelen «Oppgavedesign i matematikk fra lærerens perspektiv». Jeg har altså i flere år hatt en interesse for oppgaver i matematikk, sett i kontekst med den hverdagen lærere står i.
Med denne bakgrunnen var det med skrekkblandet fryd at jeg mottok telefonen fra Udir med spørsmålet om å være en del av arbeidsgruppa som skulle komme med en anbefaling om bruk av hjelpemidler ved sentralt gitt eksamen i matematikk. Jeg visste umiddelbart at dette ville være et krevende oppdrag, men også at det er en ekstremt viktig jobb å gjøre. I tillegg visste jeg med bakgrunn i debatten som hadde gått, at en egentlig må regne med kritikk uansett hva man lander på av anbefalinger, for her er det mye sterke følelser involvert. Jeg var likevel ikke i tvil om at dette var et oppdrag jeg måtte takke ja til. Det er et viktig arbeid jeg mener jeg er godt kvalifisert til, og da kan jeg stå støtt i den avgjørelsen vi lander på, uansett hva den måtte bli. Et viktig moment for meg var også at Udir ikke la noen føringer på hva jeg skulle mene eller hva jeg skulle jobbe mot som konklusjon. De ansatte meg som fagperson, og jeg står fritt til å konkludere med det jeg mener er faglig rett.
Digital eksamen
Min første bekymring i dette arbeidet var egentlig ikke først og fremst hjelpemidlene, men at eksamen skulle være heldigital. Forskning viser at det er en del utfordringer med digitale tester kontra tester med papir og blyant (Lemmo, 2021)[1] , men her ble jeg beroliget med at det ikke var et mål i seg selv at elevene skulle skrive alle svar digitalt. Udir åpner både for at elevene kan bruke blyant og papir som hjelpemiddel underveis, og at det til og med skal være mulig for elevene å laste opp bilder av løsninger de har skrevet på ark. Jeg tenker fortsatt at det ikke er den mest ideelle løsningen, men forstår samtidig at det er praktiske fordeler ved at eksamen distribueres og innleveres digitalt. I tillegg er dette et punkt som er bestemt, og som vår arbeidsgruppe ikke har noen mulighet til å påvirke.
Med eller uten hjelpemidler?
Når det gjelder eksamen med eller uten hjelpemidler, sitter jeg med en følelse av at vi snakker mye forbi hverandre og at vi kanskje er enige i de grunnleggende tingene. «Med eller uten hjelpemidler» mener jeg er symptomet vi drøfter, mens bekymringene egentlig er andre ting. For min egen del, så ønsker jeg absolutt ikke at en del 1 der elevene instrumentelt løser for eksempel integrasjonsoppgaver på papir skal byttes ut med at elevene instrumentelt plotter integrasjonsoppgaver inn i CAS.
Hovedmålet må være at elevene blir utfordret i å tenke og anvende matematikk til å løse problemer, og at elevene selv vurderer om det er hensiktsmessig med blyant, CAS eller andre hjelpemidler.
Hva med elevene som presterer lavest?
Det virker også som om flere bekymrer seg for de elevene som presterer lavest, dersom vi fjerner en del uten hjelpemidler på eksamen, særlig i de teoretiske matematikkfagene. En oppgave skal lages slik at den kan diskriminere på et gitt nivå, og et eksamenssett skal til sammen kunne diskriminere[2] på hele karakterskalaen. Jeg sitter igjen med et inntrykk av at de laveste karakterene ofte berges ved at eleven har lært seg noen prosedyrer for derivasjon, integrasjon og lignende som utføres på del 1. Ved å fjerne en del uten hjelpemidler, har jeg derfor hørt argumenter om at vi vil ende med en mye større strykprosent og at dette vil ramme disse elevene. Jeg er glad for at også denne elevgruppen tas med i debatten, og mener det er viktig å tenke på hvordan dette kan påvirke dem. Samtidig mistenker jeg at grunnen til at en del elever berger en ståkarakter på denne måten, er fordi de har lært at det er enkleste måten å få det til på når de har lite tid igjen før eksamen.
Så lenge vi åpner for muligheten til at elever kan bestå en matematikkeksamen ved å pugge gitte prosedyrer, vil det være elever som av ulike grunner gjør dette. Jeg mener derfor vi gjør elevene en bjørnetjeneste ved å lage eksamener der det er mulig å bestå kun ved pugg og uten å forstå hva de gjør. Da er ofte alt glemt i det øyeblikket de har levert inn eksamensbesvarelsen sin.
Krever mer av oppgavene som lages
Jeg ser mange utfordringer med å få til en god eksamen med alle hjelpemidler tilgjengelig, men jeg mener ikke det er umulig i utgangspunktet. Det vil derimot kreve langt mer av oppgavene som lages. Dette har også vært en bekymring som jeg har hatt, og tatt opp med Udir, men de har vært tydelig på at vi skal ikke la oss hindre av at oppgavene blir mer utfordrende å lage. I følge Udir, har eksamensnemndene allerede gjennomgått de nye læreplanene og Udir bekrefter at eksamensnemndene kan lage gode eksamener der hjelpemidler er tilgjengelig under hele eksamen.
Nå skal det sies at jeg ikke alltid har vært udelt fornøyd med oppgaver på tidligere gitte eksamener i matematikk heller, så kanskje kan det være sunt å tenke nytt.
Argumenter for eksamen med alle hjelpemidler
I arbeidet mitt satt jeg og studerte eksamen for R2 fra våren 2021. Da fant jeg en oppgave som jeg egentlig mener kan være et godt eksempel for hvorfor man kan argumentere for en eksamen med alle hjelpemidler. Denne oppgaven ble opprinnelig gitt på del 1, altså uten hjelpemidler:
Dersom du ikke vet definisjonen på en geometrisk rekke, vil du dermed heller ikke kunne løse oppgaven. Men med hjelpemidler, vil du kunne slå opp definisjonen (i tilfelle du fikk jernteppe), samtidig som CAS ikke vil hjelpe deg med å løse den. Med den informasjonen som er gitt, må du bruke forståelse for å komme fram til løsningen. En slik oppgave mener jeg er langt mer egnet med hjelpemidler tilgjengelig, enn uten.
Etter mitt syn bør det ikke være om du kan gjengi definisjonen av en geometrisk rekke som avgjør om du får uttelling på oppgaven, men om du kan bruke den matematiske forståelsen din til å løse oppgaven.
Dessverre har vi en del dårlig erfaring med hvordan CAS har blitt/blir benyttet i skolene i dag, og jeg lurer på om det er noe av årsaken til hele denne debatten. For vi ønsker ikke ren, instrumentell plotting i CAS. Samtidig tenker jeg at vi ønsker heller ikke ren instrumentell utregning av den deriverte på papir. Kanskje kan en eksamen med tilgang til alle hjelpemidler være en fordel for å unngå begge deler? Eksamensutviklerne blir da nødt til å lage oppgaver der det hverken er nok å redde seg inn på plotting i CAS, eller å pugge en algoritme på papiret.
Kanskje kan en slik eksamen være med og dra oss i den retningen vi alle ønsker?
Jeg er litt uenig i eksempelet som trekkes frem her at CAS ikke er noe til hjelp at og R2-oppgaven dermed er et godt eksempel på at vi bør gønne på med hjelpemidler.
Jeg ser for meg at oppgaven ønsker å teste kompetansemålet «regne med uendelige geometriske rekker med konstante og variable kvotienter, bestemme konvergensområdet for disse rekkene og presentere resultatene »
Som du sier vil man ikke få til oppgaven om man ikke husker formlene, men med hjelpemidler der man både kan slå opp formlene, og CAS som kan løse lignignssystmer trenger man ikke å kunne noe som helst om uendelige geometriske rekker i det hele tatt, så hva er det da vi tester?
Dette betyr også at elevene i mindre grad trenger å kunne algebra, fordi CAS tar seg av all denne regnebiten, og dette tror jeg etterhvert vil gå på bekostning av den matematiske forståelsen. Det er tidsbesparende å la CAS gjøre regningen for seg, men jeg tror det er en uheldig retning. Og der var LK06 litt tydligere på hva elevene skulle kunne også uten hjelpemidler, da regning er en grunnleggende ferdighet. Denne ferdigheten kan bli dårligere i vår iver etter den digitale hverdagen, og kan ta lang tid å rette opp i hvis vi først lar det gå for langt. Vi ser jo allerede i TIMMS/PISA at norske elever har en nedadgående trend i algebra, og jeg tror dette er en suksessoppskrift til å la denne trenden få fortsette i økende tempo.
Du kan helt klart få hjelp av CAS til å utføre beregningene, men jeg ser ingen formler man direkte kan benytte for å finne løsningen på akkurat denne oppgaven i CAS. Her mener jeg man må vise en ganske grunnleggende forståelse for hvordan man kan bruke informasjonen om hva rekken konvergerer mot i kombinasjon med hva summen av de tre første leddene blir, for å finne svaret. Det vil si at CAS bare gjennomfører de siste utregningene for deg, mens du samtidig viser kompetanse innenfor forståelse av geometriske rekker.
Men kanskje er det noe jeg ikke får med meg her, så jeg setter pris på dersom du kan fortelle meg om hva slags formler man kan benytte for å løse denne uten noen forståelse for geometriske rekker. Kanskje er det noe jeg har oversett.
Hvis du ikke ser noen formler du kan bruke direkte for å sette opp et ligningssystem som CAS løser, så diskuterer vi jo to ulike ting. Men jeg synes at dette var et dårlig eksempel siden for hvordan man skal teste forståelse i uendelige geometriske rekker, da CAS løser oppgaven problemfitt som et ligningssystem om man kan slå opp definisjonene, uavhengig om du ser formelene eller ikke.
Har man bok finner man ut at b2 kan skrives som b1*k og og tilsvarende b3=b1*k^2, summen for rekka står også i boka, og det gir ligningssettet:
1: b1 + b1*k + b1*k^2 = 38/9
2: b1/(1-k)=6
Da finner man både b1 og k, og man kan enkelt finne b4 ved samme metode som man brukte for å sette opp ligning 1, b4 = b1*k^3, så b4 =2*(2/3)^3.
Den kompetansen jeg har vist over er evne til å slå opp formler i boka, og bruke CAS til å løse ligningsystem. Overbevis meg gjerne om at det ligger grunnleggende forståelse om geometriske rekker her.
Evt finn bedre eksempler fra andre eksamener der poenget ditt kommer frem bedre.
Takk for et interessant innlegg. Jeg er enig i at det er utfordringer med heldigital eksamen i matematikk. En utfordring er at oppgaveteksten gis digitalt, samtidig som man må bruke pc til å løse oppgaven. Da kan det bli krevende, men forhåpentligvis overkommelig, å passe på at detaljene blir riktig. Man må stadig veksle mellom oppgaven og arbeidet med å løse og besvare den. For min egen del har jeg koblet til en ekstern skjerm når jeg har laget løsning til eksamensoppgaver, slik at jeg har oppgaveteksten på en skjerm og arbeider på den andre.
Oppgaven du nevner om rekker er et godt eksempel på en oppgave som ville passet på del 2 av eksamen, men det betyr ikke at alle oppgaver er slik. Det vil fortsatt være kompetanse som best og mest effektivt kan måles under rammer der elevene ikke har alle hjelpemidler tilgjengelig.
Jeg er enig i at det ikke er riktig å prioritere at elevene skal måtte lære veldig mange formler utenat, eksempelvis formler for sum av endelige og uendelige geometriske rekker. Ved eksamener i matematikk på universitetet kan reglene for tillate hjelpemidler variere fra kurs til kurs, med alt fra ingenting til alle skriftlige hjelpemidler, men det vanligste er at formelsamling (Rottman) eller et formelark laget for det spesifikke kurset er er tillatt. Eksempelvis er det i Matematikk 1 ved NTNU et eget formelark på en A4-side fylt med formler, inkludert abc-formelen og en del grunnleggende formler for derivasjon som vi kjenner fra vgs. Hvis vi skal fortsette med todelt eksamen i skolen, mener jeg man bør har en lignende ordning som man har på universitetet.
Det gjelder også kalkulator. Hvis vi fortsetter med å bruke Matematikk 1 som eksempel, har det i det kurset har vært vanlig å tillate det som kalles enkel kalkulator. Det er en kalkulator som ikke tegner grafer, løser likninger eller regner med algebraiske uttrykk, men som ellers har alt det man trenger. Jeg har kommet frem til at det vil være lurt å tillate slik kalkulator på del 1 av en todelt eksamen i alle kurs i matematikk i vgs. Vi bør huske på at alle alltid har en kalkulator tilgjengelig på mobiltelefonen (vri den 90°, så blir den vitenskapelig og har det man trenger av trigonometri, logaritmer, røtter og potenser). Alle har altså dette lett tilgjengelig i hverdagslivet til enhver tid. Vi går derimot ikke rundt med GeoGebra, Python, Excel og lærebok i lomma. Samtidig har læreplanene i matematikk endret seg fra LK06 til LK20. Jeg har vært med og laget eksamensoppgaver for 1P-Y og 1T-Y for våren 2020, høsten 2021 og våren 2022. Kort sagt kunne jeg ønsket meg at det var tillatt å bruke kalkulator på hele eksamen. 1P-Y og 1T-Y har bare tre skoletimer i uka, og det er rett og slett ikke tid til å jobbe mye med tallregning uten lommeregner. Når det gjelder 1T, vil det bli lettere å lage interessante oppgaver i trigonometri på del 1 av eksamen dersom det er tillatt med kalkulator. For programfag er min erfaring at en del elever har lært seg matematikken i kurset, men gjør helt elementære regnefeil (grunnskolematematikk) på del 1 av eksamen. Det er en evig kamp som jeg begynner å bli lei av som lærer. Er det egentlig verdt det? Under R94 var lommeregner tillatt under hele eksamen, så hvorfor ha en del helt uten hjelpemidler i LK20?
Så hvorfor ikke bare tillate alle hjelpemidler på hele eksamen? Fordi det er stor forskjell på formelsamling og enkel kalkulator, og programvare pluss alle skriftlige hjelpemidler. Derfor ønsker jeg meg fortsatt todelt eksamen, men altså en endring fra LK06 til LK20 angående hva som er tillatt på del 1.
Jeg er enig med deg i de digitale utfordringene du utdyper. Det er en del ulemper med at eksamen distribueres digitalt og at den leveres digitalt. Tenker dette er viktige ting å tenke over når man forberede elevene til eksamen.
Jeg er heller ikke uenig i at det finnes kompetanse som best og mest effektivt kan måles under rammer der elevene har ingen eller begrensede med hjelpemidler tilgjengelig. Samtidig strever jeg med å finne den kompetansen spesifisert i kompetansemålene som er utgangspunktet for eksamen. Med det så mener jeg at for alle kompetansemålene i LK20, så vil elevene kunne vise sin kompetanse på en eksamen med alle hjelpemidler tilgjengelig (la meg spesifisere at dette er ikke-kommuniserbare hjelpemidler). Jeg strever med å finne konkrete kompetansemål der jeg kan argumentere for at dette kan ikke eleven vise sin kompetanse innenfor, dersom alle hjelpemidler er tilgjengelig. Det vil selvfølgelig kreve mye av de som utvikler eksamens-settet, noe jeg antar du er klar over med din bakgrunn. Heldigvis så er det Udir som eventuelt må finne en løsning på det, og ikke jeg.
Det sagt, så betyr ikke det at jeg mener regning uten hjelpemidler skal være fraværende i undervisningen. Det er viktig at elevene jobber med å utvikle sin forståelse, kunne reflektere og ikke gjøre seg blindt avhengige av hjelpemidler. Men det er en forskjell på undervisning og eksamen, og eksamen skal ikke måle og kontrollere alt som skjer i undervisningen. Derfor tenker jeg at en godt konstruert eksamen med alle hjelpemidler kan gi elevene mulighet til å vise sin sluttkompetanse innenfor de gitte kompetansemålene.
Hvilke kompetansemål vil eventuelt du trekke fram fra LK20 som du tenker må prøves uten hjelpemidler på eksamen og hvorfor?
Takk for svar. Spørsmålet om hvilke kompetansemål som må testes uten hjelpemidler er basert på et premiss om at man ikke trenger todelt eksamen hvis det er mulig å teste alle kompetansemål med hjelpemidler. Jeg mener valget bør tas ut fra hvilken løsning som gir best reliabilitet og validitet, best læringsutbytte og flest fornøyde aktører.
Eksamen i 1T våren 2021 ble gjennomført med alle hjelpemidler tillatt under hele eksamen. Jeg har sett på de åtte oppgavene av type 1 (man skriver kun svaret uten å vise fremgangsmåte) og løst dem både uten hjelpemidler og med hjelpemidler. Alle de åtte oppgavene kunne vært gitt på del 1 av en todelt eksamen, og utregningene som da må gjøres manuelt uten hjelpemidler blir ikke spesielt lange eller kompliserte. Helt klart innenfor pensum av 1T. Man trenger kompetanse for å løse oppgavene enten man løser dem uten eller med bruk av digitale verktøy, men det er forskjellig type kompetanse. Todelt eksamen mener jeg er best for å teste bredden i elevenes kompetanse. Jeg vil her nevne noen av oppgavene som ble gitt i 1T våren 2021:
Oppgave 1: Gitt f(x) = ax + 8. Bestem a slik at grafen til f går gjennom punktet (4, 4).
Løsning med hjelpemidler:
Hvis man skriver inn funksjonen i GeoGebra, opprettes automatisk en glider for a. Så kan man legge inn punktet (4, 4) og dra i glideren og stoppe når grafen går gjennom punktet. Da får vi a = -1. Oppgaven tester digital kompetanse godt, men man trenger ikke særlig matematisk forståelse for å løse oppgaven på denne måten.
Løsning uten hjelpemidler:
Her må man forstå at f(4) = 4 for at grafen skal gå gjennom punktet (4, 4), noe som gir likningen 4a + 8 = 4, som gir a = -1.
Oppgave 3: (x^3 + x^2 – 2x – 8) : (x + k)
Bestem en verdi for k slik at divisjonen går opp.
Med hjelpemidler:
Kan bruke gjett og sjekk. Skriver inn brøken i CAS og prøver med ulike nevnere: x + 1,
x + 2, osv. helt til det går opp. Alternativt og mer effektivt: Faktorisere telleren i CAS.
Uten hjelpemidler:
Prøver å finne en heltallig verdi for x som gir f(x) = 0. Ser fort at 0 og 1 ikke går, så prøver med 2, som gir f(2) = 0, så x = 2 er nullpunkt og x – 2 er en faktor, som gir k = -2.
Oppgave 4: x^2 + 2kx -2k – 1 = 0
Bestem k slik at likningen har én løsning.
Med hjelpemidler:
Tegner grafen til venstre side av likningen med glider for k, og drar i glideren slik at grafen kun får ett nullpunkt. Det gir k = -2.
Oppgaven er god og egner seg godt både på del 1 og del 2, men igjen er det ulik kompetanse som måles. Matematikk er som et språk der algebra er grammatikken, og for å lære seg språket bør man også trene på regning uten hjelpemidler.
Oppgave 7: Gitt f(x) = -5x^2 + ax + 1. Grafen til f har et toppunkt i (2, f(2)). Bestem a.
Med hjelpemidler:
Tegne grafen til f(x) med glider for a, legge inn punktet (2, f(2)), og dra i glideren inntil dette punktet havner på toppen av grafen. Det gir a = 20. Med en slik løsning demonstrerer man god hjelpemiddelkompetanse, men hvor mye er matematisk kompetanse trenger man egentlig?
Jeg lar dette være mitt siste innlegg her på Udirbloggen. Lykke til videre.
For å vera ærleg, så tykkjer eg denne «nyanseringa» ikkje er i samsvar med røyndomen eg opplever til kvardags.
Nokre døme:
1) R2-oppgåva du nemner er ei samansett oppgåve som like gjerne kunne vore på del 2 etter mitt syn. Slik sett er vi samde. Derimot har eg knapt hatt elevar av den typen du skisserer her, altså elevar som, om dei berre kunne slå opp definisjonen av ei geometrisk rekkje, ville ha klart oppgåva. Elevar som får til denne oppgåvetypen, anten det er med eller utan hjelpemiddel, har jobba godt med faget gjennom året og forstått liknande oppgåver.
2) Du meiner vi vil gjera elevane ei «bjørnetjeneste ved å lage eksamener der det er mulig å bestå kun ved pugg og uten å forstå hva de gjør». Eg har aldri sett ein slik eksamen, og klarar heller ikkje å sjå at det skal bli konsekvensen av å halda fram med å ha ein del utan hjelpemiddel. Som din kollega Stig Eriksen skriv i eit anna blogginnlegg, er det ingen automatisk motsetnad mellom prosedyrar og forståing i matematikk. Tvert om, det eine heng saman med det andre.
3) Du sannkjenner at tilgang på hjelpemiddel under heile eksamen vil krevja meir av dei som skal laga oppgåvene, men reknar med at det ordnar seg sidan «Udir bekrefter at eksamensnemndene kan lage gode eksamener der hjelpemidler er tilgjengelig under hele eksamen». Ja vel, ja. Då er det rart at vi har sett få gode døme på dette i det som føreligg av eksempelsett.
Med slik kunnskap om matematikk og algoritmer må du gå og utvikle kvantedatamaskiner eller handelsroboter for kryptovaluta. Et av teamene som utvikler denne roboten https://cryptodaily.no/coinrule-kryptohandelsbot-anmeldelse/ trenger forresten slike folk og kanskje vil dette være ditt første skritt innen kryptovaluta, nemlig i utviklingen av en handelsbot . Det er synd at jeg ikke har slik kunnskap, og jeg kan bare bytte)